exercício: Resolva O PVI
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}-x y=0 \\\ y(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial (PVI)
\begin{cases} y' - x\,y = 0,\\\ y(0)=1, \end{cases}
que é uma equação diferencial de primeira ordem, linear e homogênea. Para resolver, vamos usar o método de separação de variáveis (ou reconhecer que é da forma y'=x\,y).

Passo 2

Reescrevendo a equação, temos
y' = x\,y
ou seja,
\frac{dy}{dx} = x\,y.
Como o lado direito é produto de função de x por função de y, podemos separar variáveis: colocar todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro.

Passo 3

Fazendo a separação de variáveis, obtemos
\frac{1}{y}\,dy = x\,dx.
Agora integramos ambos os lados:

Passo 4

\int \frac{1}{y}\,dy = \int x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln|y| = \frac{x^2}{2} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Exponentiando ambos os lados, temos
|y| = e^{\frac{x^2}{2} + C} = e^C\,e^{\frac{x^2}{2}}.
Como buscamos soluções contínuas e y(0)=1>0, podemos remover o valor absoluto e escrever
y(x) = K\,e^{\frac{x^2}{2}},
onde K = e^C. Usando a condição inicial y(0)=1, vem
1 = y(0) = K\,e^0 \quad\Longrightarrow\quad K = 1.

Resposta

A solução do PVI é
y(x) = e^{\frac{x^2}{2}}.

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