Prove, usando a definição de limite:
\lim _{x \rightarrow 1} x^{2}-2 x+1=0

Passo 1

Resumindo, queremos provar usando a definição de limite que
\lim_{x\to1}\bigl(x^2-2x+1\bigr)=0.
O conteúdo é a prova \epsilon \delta de limite para funções reais.

Passo 2

Observe que
x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2.
Logo, para qualquer x,
\bigl|x^2-2x+1 - 0\bigr| = |(x-1)^2| = |x-1|^2.

Passo 3

Dado \varepsilon>0, escolha
\delta = \sqrt{\varepsilon}.
Então, sempre que |x-1|<\delta, temos
\bigl|x^2-2x+1 - 0\bigr| = |x-1|^2 < \delta^2 = \varepsilon.
Isso mostra que, segundo a definição de limite,
\lim_{x\to1}(x^2-2x+1)=0.

Resposta

\displaystyle 0

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