Exercício 5. Resolva os PVIs abaixo:
ly^prime+x^4 y=x^4 e^45 y(0)=1

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y' + x^4y = x^4e^45, y(0)=1
Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o fator integrante.

Passo 2

O fator integrante mu(x) é dado por
mu(x) = expl(integral x^4,dxr) = expl(x^55r)
Multiplicando a equação original por mu(x), obtemos
e^x^55y' + x^4e^x^55y = x^4e^x^55e^45

Passo 3

Note que o lado esquerdo é a derivada de y,e^x^5/5:
ddxl(y,e^x^55r) = x^4e^x^55e^45
Integrando ambos os lados em relação a x:
y,e^x^55 = e^45integral x^4e^x^55,dx + C = e^45,e^x^55 + C,
pois integral x^4e^x^5/5dx = e^x^5/5.

Passo 4

Isolando y e aplicando y(0)=1:
y = e^45 + C,e^-x^55, 1 = y(0) = e^45 + C implies C = 1 - e^45

Resposta

boxedy(x) = e^45 + l(1 - e^45r) e^-x^55

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