Inverta a ordem de integração e calcule a integral resultante:
integral0^2 raizln 3 integraly / 2^raizln 3 e^x^2 d x d y

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral dupla
integraly=0^2raizln3;integralx=y/2^raizln3e^x^2,dx,dy
e depois calcular o resultado. O conteúdo envolvido é o Teorema de Fubini (ou Tonelli), análise da região de integração no plano e uma integral simples por substituição.

Passo 2

Vamos descrever a região D em que estamos integrando:
D=(x,y)mid 0<= y<= 2raizln3,;tfrac y2<= x<= raizln3
No plano (x,y), isso significa que para cada y entre 0 e 2raizln3, x vai de y/2 até raizln3. Para inverter, projetamos D no eixo x: a menor abscissa ocorre quando y=0, isto é x>=0, e a maior é raizln3. Para cada xin[0,raizln3], a condição tfrac y2<= x vira y<= 2x, junto com y>=0.

Passo 3

Invertendo a ordem, x vai de 0 a raizln3 e, para cada x, y vai de 0 a 2x. A integral fica
integralx=0^raizln3;integraly=0^2xe^x^2,dy,dx

Passo 4

Calculamos a integral interna em y, tratando x como constante:
integraly=0^2xe^x^2,dy =e^x^2cdotl[yr]0^2x =2x,e^x^2
Logo a integral dupla reduz-se a
integral0^raizln32x,e^x^2,dx

Passo 5

Para resolver integral0^raizln32x,e^x^2,dx, usamos a substituição u=x^2, logo du=2x,dx. Quando x=0, u=0; quando x=raizln3, u=ln3. Assim
integral0^raizln32x,e^x^2,dx =integralu=0^ln3e^u,du =l[e^ur]0^ln3 =e^ln3-e^0 =3-1 =2

Resposta

O valor da integral é 2.

Exercícios relacionados