Inverta a ordem de integração e calcule a integral resultante:
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral dupla
e depois calcular o resultado. O conteúdo envolvido é o Teorema de Fubini (ou Tonelli), análise da região de integração no plano e uma integral simples por substituição.
Passo 2
Vamos descrever a região
em que estamos integrando:
No plano
, isso significa que para cada
entre
e
,
vai de
até
. Para inverter, projetamos
no eixo
: a menor abscissa ocorre quando
, isto é
, e a maior é
. Para cada
, a condição
vira
, junto com
.
Passo 3
Invertendo a ordem,
vai de
a
e, para cada
,
vai de
a
. A integral fica
Passo 4
Calculamos a integral interna em
, tratando
como constante:
Logo a integral dupla reduz-se a
Passo 5
Para resolver
, usamos a substituição
, logo
. Quando
,
; quando
,
. Assim
Resposta
O valor da integral é
.