Exercício 3. Resolva as seguintes EDOs pelo Método de Separação de Variáveis:
(desafio - dica: use a substituição
e resolva a EDO em
)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e sugere a substituição
para resolver a EDO em
.
Informações relevantes:
- A equação está escrita em termos de
e . - A substituição
exige (pois vou dividir por ). - O objetivo é encontrar a família de soluções gerais
(normalmente será uma solução implícita). - Não há solução constante óbvia que satisfaça a equação para todo
(verificações posteriores serão feitas).
Passo 2
Aplicar a substituição
. Primeiro calculo a derivada
usando a regra do produto:
Agora substituo isso e
na EDO:
Simplifico a fração do lado direito fatorando
:
Passo 3
Isolo
:
Faço a subtração no lado direito colocando em denominador comum
:
Logo obtenho a equação separável em
:
Passo 4
Separo as variáveis
e
. Para isso coloco todos os termos em
de um lado e
do outro:
Esta é a forma ideal para integrar: integral em
à esquerda e em
à direita.
Passo 5
Integro ambos os lados. Para a esquerda, decompõe-se a fração:
Conhecimentos úteis (pequena aula aqui):
-
porque a derivada de é . -
. Uma maneira de ver isso é usar , então .
Assim,
Do lado direito,
Portanto, após integrar:
onde
é constante de integração.
Passo 6
Volto para a variável original
usando
. Primeiro observo que
então
Substituo isso na integral encontrada:
Desenvolvendo e simplificando os termos com
(eles se cancelam):
Este
representa uma constante arbitrária (pode absorver sinais ou
conforme desejado). Esta é a solução geral implícita da EDO. Observações finais:
- A solução está válida onde
e (o que é automático salvo o ponto ). - A solução é implícita; isolar
explicitamente daria uma expressão complicada envolvendo tangente e exponencial, então a forma implícita acima é a mais prática. - Não há solução contínua válida que faça
(i.e. ) pois o lado direito da EDO fica indefinido nessa reta.