Exercício 3. Resolva as seguintes EDOs pelo Método de Separação de Variáveis:
\frac{d y}{d x}=\frac{x+y}{x-y} \quad (desafio - dica: use a substituição y=v x e resolva a EDO em v=v(x) )

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
\frac{dy}{dx}=\frac{x+y}{x-y},
e sugere a substituição \;y=vx\; para resolver a EDO em v=v(x).
Informações relevantes:
  • A equação está escrita em termos de x e y.
  • A substituição y=vx exige x\neq0 (pois vou dividir por x).
  • O objetivo é encontrar a família de soluções gerais y(x) (normalmente será uma solução implícita).
  • Não há solução constante óbvia que satisfaça a equação para todo x (verificações posteriores serão feitas).

Passo 2

Aplicar a substituição y=vx. Primeiro calculo a derivada dy/dx usando a regra do produto:
y=vx \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}.
Agora substituo isso e y=vx na EDO:
v + x\frac{dv}{dx}=\frac{x+vx}{x-vx}.
Simplifico a fração do lado direito fatorando x:
\frac{x+vx}{x-vx}=\frac{x(1+v)}{x(1-v)}=\frac{1+v}{1-v}.

Passo 3

Isolo x\,dv/dx:
x\frac{dv}{dx}=\frac{1+v}{1-v}-v.
Faço a subtração no lado direito colocando em denominador comum (1-v):
\frac{1+v}{1-v}-v=\frac{1+v - v(1-v)}{1-v}=\frac{1+v - v + v^2}{1-v}=\frac{1+v^2}{1-v}.
Logo obtenho a equação separável em v:
x\frac{dv}{dx}=\frac{1+v^2}{1-v}.

Passo 4

Separo as variáveis v e x. Para isso coloco todos os termos em v de um lado e dx/x do outro:
\frac{1-v}{1+v^2}\,dv=\frac{dx}{x}.
Esta é a forma ideal para integrar: integral em v à esquerda e em x à direita.

Passo 5

Integro ambos os lados. Para a esquerda, decompõe-se a fração:
\frac{1-v}{1+v^2}=\frac{1}{1+v^2}-\frac{v}{1+v^2}.
Conhecimentos úteis (pequena aula aqui):
  • \displaystyle\int\frac{1}{1+v^2}\,dv=\arctan v + C porque a derivada de \arctan v é \dfrac{1}{1+v^2}.
  • \displaystyle\int\frac{v}{1+v^2}\,dv=\frac{1}{2}\ln(1+v^2)+C. Uma maneira de ver isso é usar u=1+v^2, então du=2v\,dv.
Assim,
\int\frac{1-v}{1+v^2}\,dv=\int\frac{1}{1+v^2}\,dv-\int\frac{v}{1+v^2}\,dv =\arctan v - \frac{1}{2}\ln(1+v^2).
Do lado direito,
\int\frac{dx}{x}=\ln|x|.
Portanto, após integrar:
\arctan v - \frac{1}{2}\ln(1+v^2)=\ln|x| + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Volto para a variável original y usando v=\dfrac{y}{x}. Primeiro observo que
1+v^2=1+\frac{y^2}{x^2}=\frac{x^2+y^2}{x^2},
então
\ln(1+v^2)=\ln(x^2+y^2)-2\ln|x|.
Substituo isso na integral encontrada:
\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)-\frac{1}{2}\bigl(\ln(x^2+y^2)-2\ln|x|\bigr)=\ln|x|+C.
Desenvolvendo e simplificando os termos com \ln|x| (eles se cancelam):
\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)-\frac{1}{2}\ln(x^2+y^2)=C.
Este C representa uma constante arbitrária (pode absorver sinais ou 2 conforme desejado). Esta é a solução geral implícita da EDO. Observações finais:
  • A solução está válida onde x\neq0 e x^2+y^2>0 (o que é automático salvo o ponto x=y=0).
  • A solução é implícita; isolar y explicitamente daria uma expressão complicada envolvendo tangente e exponencial, então a forma implícita acima é a mais prática.
  • Não há solução contínua válida que faça x-y=0 (i.e. y=x) pois o lado direito da EDO fica indefinido nessa reta.

Resposta

\displaystyle \arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)-\frac{1}{2}\ln\!\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)=C

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