Exercício 4. Resolva os seguintes PVIs:
y^{\prime}=e^{x-y}, \quad y(0)=\ln (2).

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI) dado por:
y' = e^{x-y}, \qquad y(0)=\ln(2).
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação diferencial é de primeira ordem e relaciona y' com x e y.
  • A condição inicial é y(0)=\ln(2).
  • O objetivo é encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Observando a equação, vou escolher um método de resolução: separação de variáveis. Motivo simples e prático: dá para escrever a equação de forma que todos os termos envolvendo y fiquem num lado e os envolvendo x no outro, o que permite integrar. Vou mostrar passo a passo como fazer isso (é um método direto e rápido para este tipo de equação).

Passo 3

Escrevendo a derivada explicitamente como \dfrac{dy}{dx} temos:
\frac{dy}{dx} = e^{x-y}.
Reescrevendo e^{x-y} como e^{x}e^{-y} e separando as variáveis:
\frac{dy}{dx} = e^{x}e^{-y} \quad\Longrightarrow\quad e^{y}\frac{dy}{dx} = e^{x}.
Agora multiplico ambos os lados por dx para ter as integrais:
e^{y}\,dy = e^{x}\,dx.

Passo 4

Integro ambos os lados. Explico: a integral de e^{y} em relação a y é e^{y} (porque a derivada de e^{y} é e^{y}), e a integral de e^{x} em relação a x é e^{x}. Portanto:
\int e^{y}\,dy = \int e^{x}\,dx \quad\Longrightarrow\quad e^{y} = e^{x} + C,
onde C é a constante de integração. Note que coloquei a constante de integração do lado direito — isso é só uma escolha conveniente; poderia estar do outro lado, o importante é que haja apenas uma constante arbitrária.

Passo 5

Agora isolo y. Como e^{y}>0, posso aplicar o logaritmo natural para obter y explicitamente:
e^{y} = e^{x} + C \quad\Longrightarrow\quad y = \ln\!\bigl(e^{x} + C\bigr).
Aqui é importante prestar atenção ao domínio: precisamos de e^{x}+C>0 para que o logaritmo esteja definido.

Passo 6

Uso a condição inicial y(0)=\ln(2) para determinar C. Substituindo x=0 e y(0)=\ln(2) em e^{y}=e^{x}+C:
e^{y(0)} = e^{0} + C \quad\Longrightarrow\quad e^{\ln(2)} = 1 + C \quad\Longrightarrow\quad 2 = 1 + C.
Portanto
C = 1.

Passo 7

Substituindo C=1 na solução geral, obtemos a solução particular do PVI:
e^{y} = e^{x} + 1 \quad\Longrightarrow\quad y(x) = \ln\!\bigl(e^{x} + 1\bigr).
Verificação rápida (útil na prova): calcule y'(x) a partir da solução e veja se bate com a equação original.
y'(x) = \frac{d}{dx}\ln\!\bigl(e^{x}+1\bigr) = \frac{e^{x}}{e^{x}+1}.
Por outro lado, usando a solução na expressão e^{x-y}:
e^{x-y} = \frac{e^{x}}{e^{y}} = \frac{e^{x}}{e^{x}+1},
que coincide com y'(x). Tudo consistente. Além disso, e^{x}+1>0 para todo x, então o domínio da solução é (-\infty,\infty).

Passo 8

Resumo didático rápido (para fazer na prova):
  • Reconheça que a equação é separável: escreva e^{y}\,dy = e^{x}\,dx.
  • Integre ambos os lados e introduza uma constante: e^{y}=e^{x}+C.
  • Use a condição inicial para achar C.
  • Isole y com y=\ln(e^{x}+C) e verifique domínio e consistência diferenciando se quiser.

Resposta

y(x)=\ln\!\bigl(e^{x}+1\bigr)

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