Exercício 4. Resolva os seguintes PVIs:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI) dado por:
Informações relevantes fornecidas:
- A equação diferencial é de primeira ordem e relaciona
com e . - A condição inicial é
. - O objetivo é encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Observando a equação, vou escolher um método de resolução: separação de variáveis. Motivo simples e prático: dá para escrever a equação de forma que todos os termos envolvendo
fiquem num lado e os envolvendo
no outro, o que permite integrar. Vou mostrar passo a passo como fazer isso (é um método direto e rápido para este tipo de equação).
Passo 3
Escrevendo a derivada explicitamente como
temos:
Reescrevendo
como
e separando as variáveis:
Agora multiplico ambos os lados por
para ter as integrais:
Passo 4
Integro ambos os lados. Explico: a integral de
em relação a
é
(porque a derivada de
é
), e a integral de
em relação a
é
. Portanto:
onde
é a constante de integração. Note que coloquei a constante de integração do lado direito — isso é só uma escolha conveniente; poderia estar do outro lado, o importante é que haja apenas uma constante arbitrária.
Passo 5
Agora isolo
. Como
, posso aplicar o logaritmo natural para obter
explicitamente:
Aqui é importante prestar atenção ao domínio: precisamos de
para que o logaritmo esteja definido.
Passo 6
Uso a condição inicial
para determinar
. Substituindo
e
em
:
Portanto
Passo 7
Substituindo
na solução geral, obtemos a solução particular do PVI:
Verificação rápida (útil na prova): calcule
a partir da solução e veja se bate com a equação original.
Por outro lado, usando a solução na expressão
:
que coincide com
. Tudo consistente. Além disso,
para todo
, então o domínio da solução é
.
Passo 8
Resumo didático rápido (para fazer na prova):
- Reconheça que a equação é separável: escreva
. - Integre ambos os lados e introduza uma constante:
. - Use a condição inicial para achar
. - Isole
com e verifique domínio e consistência diferenciando se quiser.