Exercício 1 - Resolva as seguintes equações de Bernoulli:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
onde
. A tarefa é resolver essa equação e apresentar a família de soluções (constante de integração incluída). Informações úteis que já temos explicitamente do enunciado:
- A incógnita é a função
. - A derivada é
. - A equação é de primeira ordem não-linear à primeira vista.
Passo 2
Primeiro reorganizo a equação para deixar
isolado, só para olhar melhor:
Uma estratégia útil quando a equação mistura
e
dessa forma é trocar o papel das variáveis e ver
como função de
. Ou seja, trabalhar com
. Isso às vezes simplifica porque aparece produto
que pode ser tratado como nova variável. Invertendo a derivada:
Passo 3
Multiplico ambos os lados por
para eliminar a fração:
Agora reconheço que o lado esquerdo é exatamente a derivada de
em relação a
, pois
Portanto a equação fica muito mais simples ao definir uma nova função
.
Passo 4
Com
temos
. Substituindo na equação do passo anterior:
Reescrevo em forma padrão de equação linear de primeira ordem para
:
Aqui já sabemos como proceder: é uma equação linear em
com coeficiente
.
Passo 5
Vou resolver a equação linear usando fator integrante. O fator integrante
é
Multiplicando a equação por
obtemos
O lado esquerdo é a derivada do produto
, isto é,
Passo 6
Integro ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração. Agora calculo a integral do lado direito. Faço a substituição
Escrevo
e uso que
. Assim a integral vira
Passo 7
Calculo
por partes (duas vezes) ou usando fórmula conhecida:
Multiplicando por
obtemos
Volto à variável
com
e
. Portanto
(Observação rápida: a multiplicação e simplificação dão
.)
Passo 8
Substituindo essa primitiva na expressão do passo 6:
Dividindo por
(que nunca é zero) obtemos a solução para
:
Passo 9
Lembra que
. Portanto a solução geral implícita (expressando
em função de
) é
onde
é a constante de integração arbitrária. Podemos escrever
explicitamente (quando o lado direito for não-negativo):
Isso descreve a família de curvas solução. Está tudo certo: encontramos uma constante livre
e a relação entre
e
.