Exercício 1 - Resolva as seguintes equações de Bernoulli:
y^{2}\left(y^{6}-x^{2}\right) y^{\prime}=2 x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y^{2}\bigl(y^{6}-x^{2}\bigr) y' = 2x,
onde y'=dy/dx. A tarefa é resolver essa equação e apresentar a família de soluções (constante de integração incluída). Informações úteis que já temos explicitamente do enunciado:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A derivada é y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • A equação é de primeira ordem não-linear à primeira vista.

Passo 2

Primeiro reorganizo a equação para deixar y' isolado, só para olhar melhor:
y'=\frac{2x}{y^{2}\bigl(y^{6}-x^{2}\bigr)}.
Uma estratégia útil quando a equação mistura x e y dessa forma é trocar o papel das variáveis e ver x como função de y. Ou seja, trabalhar com \dfrac{dx}{dy}. Isso às vezes simplifica porque aparece produto x^2 que pode ser tratado como nova variável. Invertendo a derivada:
\frac{dx}{dy}=\frac{y^{2}\bigl(y^{6}-x^{2}\bigr)}{2x}.

Passo 3

Multiplico ambos os lados por 2x para eliminar a fração:
2x\frac{dx}{dy} = y^{2}\bigl(y^{6}-x^{2}\bigr) = y^{8} - y^{2}x^{2}.
Agora reconheço que o lado esquerdo é exatamente a derivada de x^{2} em relação a y, pois
\frac{d}{dy}\bigl(x^{2}\bigr) = 2x\frac{dx}{dy}.
Portanto a equação fica muito mais simples ao definir uma nova função u(y)=x^{2}.

Passo 4

Com u(y)=x^{2} temos \dfrac{du}{dy}=2x\dfrac{dx}{dy}. Substituindo na equação do passo anterior:
\frac{du}{dy} = y^{8} - y^{2}u.
Reescrevo em forma padrão de equação linear de primeira ordem para u(y):
\frac{du}{dy} + y^{2}u = y^{8}.
Aqui já sabemos como proceder: é uma equação linear em u com coeficiente y^{2}.

Passo 5

Vou resolver a equação linear usando fator integrante. O fator integrante \mu(y) é
\mu(y)=\exp\!\Bigl(\int y^{2}\,dy\Bigr)=\exp\!\Bigl(\frac{y^{3}}{3}\Bigr).
Multiplicando a equação por \mu(y) obtemos
\exp\!\Bigl(\frac{y^{3}}{3}\Bigr)\frac{du}{dy} + y^{2}\exp\!\Bigl(\frac{y^{3}}{3}\Bigr)u = y^{8}\exp\!\Bigl(\frac{y^{3}}{3}\Bigr).
O lado esquerdo é a derivada do produto u\mu(y), isto é,
\frac{d}{dy}\Bigl(u\,e^{\tfrac{y^{3}}{3}}\Bigr) = y^{8} e^{\tfrac{y^{3}}{3}}.

Passo 6

Integro ambos os lados em relação a y:
u(y)\,e^{\tfrac{y^{3}}{3}} = \int y^{8} e^{\tfrac{y^{3}}{3}}\,dy + C,
onde C é constante de integração. Agora calculo a integral do lado direito. Faço a substituição
t=\frac{y^{3}}{3}\quad\Rightarrow\quad dt=y^{2}dy.
Escrevo y^{8}dy = y^{6}\cdot y^{2}dy e uso que y^{6}=(y^{3})^{2}=(3t)^{2}=9t^{2}. Assim a integral vira
\int y^{8} e^{\tfrac{y^{3}}{3}}\,dy = \int 9t^{2} e^{t}\,dt = 9\int t^{2} e^{t}\,dt.

Passo 7

Calculo \int t^{2} e^{t}\,dt por partes (duas vezes) ou usando fórmula conhecida:
\int t^{2} e^{t}\,dt = e^{t}\bigl(t^{2}-2t+2\bigr) + \text{const}.
Multiplicando por 9 obtemos
9\int t^{2} e^{t}\,dt = 9 e^{t}\bigl(t^{2}-2t+2\bigr) + \text{const}.
Volto à variável y com t=\dfrac{y^{3}}{3} e e^{t}=e^{\tfrac{y^{3}}{3}}. Portanto
\int y^{8} e^{\tfrac{y^{3}}{3}}\,dy = e^{\tfrac{y^{3}}{3}}\bigl(y^{6}-6y^{3}+18\bigr) + \text{const}.
(Observação rápida: a multiplicação e simplificação dão 9\bigl((y^{3}/3)^{2}-2(y^{3}/3)+2\bigr)e^{y^{3}/3}=e^{y^{3}/3}(y^{6}-6y^{3}+18).)

Passo 8

Substituindo essa primitiva na expressão do passo 6:
u(y)\,e^{\tfrac{y^{3}}{3}} = e^{\tfrac{y^{3}}{3}}\bigl(y^{6}-6y^{3}+18\bigr) + C.
Dividindo por e^{\tfrac{y^{3}}{3}} (que nunca é zero) obtemos a solução para u:
u(y) = y^{6} - 6y^{3} + 18 + C e^{-\tfrac{y^{3}}{3}}.

Passo 9

Lembra que u(y)=x^{2}. Portanto a solução geral implícita (expressando x em função de y) é
x^{2} = y^{6} - 6y^{3} + 18 + C e^{-\tfrac{y^{3}}{3}},
onde C é a constante de integração arbitrária. Podemos escrever x explicitamente (quando o lado direito for não-negativo):
x=\pm\sqrt{\,y^{6} - 6y^{3} + 18 + C e^{-\tfrac{y^{3}}{3}}\,}.
Isso descreve a família de curvas solução. Está tudo certo: encontramos uma constante livre C e a relação entre x e y.

Resposta

x^{2}=y^{6}-6y^{3}+18 + C e^{-\tfrac{y^{3}}{3}}

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