Exercício 0.6. Resolva as seguintes equações exponenciais na variável x :
2^{x+3}+2^{x+1}+2^{x}=88

Passo 1

O enunciado pede para resolver na variável x a equação
2^{x+3}+2^{x+1}+2^{x}=88.
Informações dadas e objetivo:
  • Temos três potências de base 2 com expoentes envolvendo x: 2^{x+3}, 2^{x+1} e 2^{x}.
  • Queremos encontrar todos os valores de x que tornam a igualdade verdadeira.
  • Não há outras condições extras; portanto procuramos soluções reais para x.

Passo 2

Regra útil de potências que vamos usar (lembrete): para qualquer base positiva a e quaisquer números x e m,
a^{x+m}=a^x\cdot a^{m}.
Aqui isso significa, por exemplo, que 2^{x+3}=2^x\cdot 2^3 e 2^{x+1}=2^x\cdot 2^1. Essa identidade serve para fatorarmos um 2^x comum.

Passo 3

Fatorando 2^x do lado esquerdo da equação usando a propriedade acima obtemos
2^{x+3}+2^{x+1}+2^{x}=2^x\bigl(2^3+2^1+1\bigr).

Passo 4

Calcule os termos dentro do parêntese:
2^3=8,\qquad 2^1=2,\qquad 1=1,
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2^3+2^1+1=8+2+1=11.
Substituindo na expressão fatorada ficamos com
2^x\cdot 11 = 88.

Passo 5

Isolando 2^x temos
2^x = \frac{88}{11}.
Calcule a divisão:
\frac{88}{11}=8,
portanto
2^x=8.

Passo 6

Resolver 2^x=8. Reconheça que 8 é potência de 2: 8=2^3. Como a função x\mapsto 2^x é injetora (monótona crescente para base maior que 1), podemos igualar os expoentes:
x=3.

Passo 7

Verificação rápida (substituição na equação original):
2^{3+3}+2^{3+1}+2^{3}=2^{6}+2^{4}+2^{3}=64+16+8=88,
confere certinho. Então x=3 é solução e é a única.

Passo 8

Dica prática que funciona em muitas questões parecidas: sempre tente fatorar pela menor potência comum (aqui 2^x) ou faça a substituição y=2^x (com y>0), assim a equação exponencial vira uma equação algébrica simples em y. Exemplo rápido de reforço: resolver 3^{x+2}+3^{x}=30. Fatorando 3^x(3^2+1)=3^x(9+1)=10\cdot3^x=30 3^x=3 e então x=1.

Resposta

x=3

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