Exercício 0.6. Resolva as seguintes equações exponenciais na variável
:
Passo 1
O enunciado pede para resolver na variável
a equação
Informações dadas e objetivo:
- Temos três potências de base
com expoentes envolvendo : , e . - Queremos encontrar todos os valores de
que tornam a igualdade verdadeira. - Não há outras condições extras; portanto procuramos soluções reais para
.
Passo 2
Regra útil de potências que vamos usar (lembrete): para qualquer base positiva
e quaisquer números
e
,
Aqui isso significa, por exemplo, que
e
. Essa identidade serve para fatorarmos um
comum.
Passo 3
Fatorando
do lado esquerdo da equação usando a propriedade acima obtemos
Passo 4
Calcule os termos dentro do parêntese:
logo
Substituindo na expressão fatorada ficamos com
Passo 5
Isolando
temos
Calcule a divisão:
portanto
Passo 6
Resolver
. Reconheça que
é potência de
:
. Como a função
é injetora (monótona crescente para base maior que
), podemos igualar os expoentes:
Passo 7
Verificação rápida (substituição na equação original):
confere certinho. Então
é solução e é a única.
Passo 8
Dica prática que funciona em muitas questões parecidas: sempre tente fatorar pela menor potência comum (aqui
) ou faça a substituição
(com
), assim a equação exponencial vira uma equação algébrica simples em
. Exemplo rápido de reforço: resolver
. Fatorando
dá
e então
.