Exercício 0.6. Resolva as seguintes equações exponenciais na variável
:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação exponencial na variável
:
Informações dadas:
- A incógnita é
. - A equação envolve uma potência com base
.
O objetivo é encontrar todos os valores deque tornam a igualdade verdadeira.
Passo 2
Primeiro objetivo: isolar a expressão exponencial
. Para isso dividimos os dois lados da equação por
. Aqui explico a operação: dividir ambos os lados por
é válida porque
e preserva a igualdade.
Passo 3
Calcule a divisão do lado direito.
. Portanto obtemos:
Passo 4
Agora reescrevemos
como uma potência de base
, pois isso facilita a comparação com o lado esquerdo que já tem base
. Sabe-se que
porque
. Assim:
Passo 5
Propriedade usada (expliquei o porquê): para uma base
positiva e diferente de
(aqui
), a função exponencial
é injetora, ou seja, se
então
. Aplicando essa propriedade ao caso acima, igualam-se os expoentes:
Passo 6
Agora resolvemos a equação quadrática simples obtida. Somando
em ambos os lados:
Tomando raiz quadrada de ambos os lados (lembrando que raiz quadrada de um quadrado dá duas soluções, positiva e negativa):
Passo 7
Verificação rápida (sempre bom checar em provas): substituir
ok. Substituir
ok também. Ambas as soluções satisfazem a equação original.