Exercício 0.6. Resolva as seguintes equações exponenciais na variável x :
5 \cdot 2^{x^{2}-4}=160

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial na variável x:
5\cdot 2^{x^{2}-4}=160.
Informações dadas:
  • A incógnita é x.
  • A equação envolve uma potência com base 2.
    O objetivo é encontrar todos os valores de x que tornam a igualdade verdadeira.

Passo 2

Primeiro objetivo: isolar a expressão exponencial \,2^{x^{2}-4}\,. Para isso dividimos os dois lados da equação por 5. Aqui explico a operação: dividir ambos os lados por 5 é válida porque 5\neq0 e preserva a igualdade.
2^{x^{2}-4}=\frac{160}{5}.

Passo 3

Calcule a divisão do lado direito. \dfrac{160}{5}=32. Portanto obtemos:
2^{x^{2}-4}=32.

Passo 4

Agora reescrevemos 32 como uma potência de base 2, pois isso facilita a comparação com o lado esquerdo que já tem base 2. Sabe-se que 32=2^{5} porque 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32. Assim:
2^{x^{2}-4}=2^{5}.

Passo 5

Propriedade usada (expliquei o porquê): para uma base a positiva e diferente de 1 (aqui a=2), a função exponencial a^{t} é injetora, ou seja, se a^{u}=a^{v} então u=v. Aplicando essa propriedade ao caso acima, igualam-se os expoentes:
x^{2}-4=5.

Passo 6

Agora resolvemos a equação quadrática simples obtida. Somando 4 em ambos os lados:
x^{2}=9.
Tomando raiz quadrada de ambos os lados (lembrando que raiz quadrada de um quadrado dá duas soluções, positiva e negativa):
x=3 \quad\text{ou}\quad x=-3.

Passo 7

Verificação rápida (sempre bom checar em provas): substituir x=3
5\cdot 2^{3^{2}-4}=5\cdot 2^{9-4}=5\cdot 2^{5}=5\cdot 32=160,
ok. Substituir x=-3
5\cdot 2^{(-3)^{2}-4}=5\cdot 2^{9-4}=5\cdot 2^{5}=160,
ok também. Ambas as soluções satisfazem a equação original.

Resposta

x=3
x=-3

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