Exercício 0.6. Resolva as seguintes equações exponenciais na variável x :
3 \cdot 5^{x-1}=75

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial na variável x:
3\cdot 5^{x-1}=75.
Informações dadas:
  • A incógnita é x.
  • Há uma potência com base 5: 5^{x-1}.
  • Do lado esquerdo há um fator multiplicativo 3 fora da potência.
    O objetivo é encontrar todos os valores de x que satisfaçam essa igualdade.

Passo 2

Primeiro passo prático: isolar a parte exponencial. Para isso dividimos ambos os lados da equação por 3. Isso é permitido porque dividir por 3 (número diferente de zero) não altera as soluções. Aplicando:
\frac{3\cdot 5^{x-1}}{3}=\frac{75}{3}.
Simplificando os dois lados obtemos
5^{x-1}=25.

Passo 3

Agora vamos transformar o lado direito em potência de base 5, para poder comparar expoentes diretamente. Lembrando potências de 5:
5^1=5,\qquad 5^2=25,\qquad 5^3=125,\\ \text{etc.}
Portanto 25=5^2. Substituindo na equação:
5^{x-1}=5^2.

Passo 4

Quando temos uma igualdade do tipo \,a^{u}=a^{v}\, com a>0 e a\neq 1, vale que u=v. Aqui a base é a=5 (positiva e diferente de 1), então podemos igualar os expoentes:
x-1=2.
Essa propriedade é fundamental para resolver equações exponenciais quando ambos os lados têm a mesma base.

Passo 5

Resolver a equação linear obtida:
x-1=2 \quad\Rightarrow\quad x=2+1=3.

Passo 6

Verificação rápida: substituir x=3 na equação original para checar.
3\cdot 5^{3-1}=3\cdot 5^{2}=3\cdot 25=75,
que coincide com o lado direito. Logo x=3 é solução correta.

Resposta

x=3

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