Exercício 1 - Resolva as seguintes equações fazendo a mudança de variáveis
:
Passo 1
O enunciado pede resolver a equação diferencial fazendo a mudança de variável
. A equação dada é
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- Quer-se a solução geral em termos de
e , usando a substituição . - A equação envolve
e , portanto consideramos o domínio natural onde esses logaritmos estão definidos (isto é, e ), então . - Objetivo: aplicar
, transformar a equação em uma que envolva e , resolver e voltar para .
Passo 2
Fazer a mudança de variável e calcular a derivada
em função de
e
.
Definindo
Derivando ambos os lados em relação a
(regra do produto / regra da cadeia):
Explicação rápida da conta:
depende de
, portanto a derivada de
é
(derivada de
vezes
) mais
vezes a derivada de
.
Passo 3
Expressar as combinações com logaritmos usando
.
Observe que
e também
Assim o primeiro grupo da equação
pode ser reescrito como
Esse é um uso direto da propriedade dos logaritmos
.
Passo 4
Substituir na equação original as expressões em termos de
e de
.
A equação original fica
Agora substituir
no termo
:
Desenvolvendo os termos:
Note que os termos
e
se cancelam, sobrando:
Passo 5
Simplificar a equação obtida e isolar os diferenciais (tornar a equação separável).
Dividindo ambos os lados por
(lembrando
):
Rearranjando:
Ou seja
Esta forma é separável: todas as ocorrências de
estão no lado esquerdo e de
no lado direito.
Passo 6
Separar variáveis e integrar.
Escrevendo de forma separada:
Integrar ambos os lados:
Passo 7
Calcular as integrais explicitamente.
Primeiro, a integral do lado direito é direta:
Para a integral do lado esquerdo usamos integração por partes. Seja
e
. Então
e
. Pela fórmula
temos:
Portanto a integração dá
Passo 8
Voltar à variável original
e apresentar a solução geral (implícita).
Lembrando que
, substituímos:
Podemos juntar termos constantes definindo
(ou reorganizar), obtendo a forma mais comum da solução implícita:
onde
é constante arbitrária. Lembrete: como o enunciado contém
e
, assumimos
e
, então as expressões logarítmicas estão bem definidas.