Exercício 1 - Resolva as seguintes equações fazendo a mudança de variáveis v=y / x :
(x-y \ln y+y \ln x)+x(\ln y-\ln x) \frac{d y}{d x}=0

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial fazendo a mudança de variável v = \dfrac{y}{x}. A equação dada é
(x - y\ln y + y\ln x) + x(\ln y - \ln x)\,\frac{dy}{dx}=0.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • Quer-se a solução geral em termos de x e y, usando a substituição v=\dfrac{y}{x}.
  • A equação envolve \ln y e \ln x, portanto consideramos o domínio natural onde esses logaritmos estão definidos (isto é, x>0 e y>0), então v>0.
  • Objetivo: aplicar v=\dfrac{y}{x}, transformar a equação em uma que envolva v e x, resolver e voltar para y.

Passo 2

Fazer a mudança de variável e calcular a derivada dy/dx em função de v e dv/dx.
Definindo
v=\frac{y}{x}\quad\Rightarrow\quad y=vx.
Derivando ambos os lados em relação a x (regra do produto / regra da cadeia):
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(v x)=v + x\frac{dv}{dx}.
Explicação rápida da conta: v depende de x, portanto a derivada de v x é v (derivada de x vezes v) mais x vezes a derivada de v.

Passo 3

Expressar as combinações com logaritmos usando v.
Observe que
\ln y - \ln x=\ln\!\left(\frac{y}{x}\right)=\ln v,
e também
- y\ln y + y\ln x = -y(\ln y - \ln x) = -y\ln v.
Assim o primeiro grupo da equação
x - y\ln y + y\ln x
pode ser reescrito como
x - y\ln v.
Esse é um uso direto da propriedade dos logaritmos \ln a - \ln b = \ln(a/b).

Passo 4

Substituir na equação original as expressões em termos de v e de \dfrac{dy}{dx}.
A equação original fica
\bigl(x - y\ln v\bigr) + x(\ln v)\bigl(v + x\frac{dv}{dx}\bigr)=0.
Agora substituir y=vx no termo y\ln v:
x - (v x)\ln v + x(\ln v)\bigl(v + x\frac{dv}{dx}\bigr)=0.
Desenvolvendo os termos:
x - v x\ln v + x v\ln v + x^2 \ln v \,\frac{dv}{dx}=0.
Note que os termos -v x\ln v e x v\ln v se cancelam, sobrando:
x + x^2 \ln v \,\frac{dv}{dx}=0.

Passo 5

Simplificar a equação obtida e isolar os diferenciais (tornar a equação separável).
Dividindo ambos os lados por x (lembrando x>0):
1 + x \ln v \,\frac{dv}{dx}=0.
Rearranjando:
x \ln v \,\frac{dv}{dx} = -1.
Ou seja
\ln v \,\frac{dv}{dx} = -\frac{1}{x}.
Esta forma é separável: todas as ocorrências de v estão no lado esquerdo e de x no lado direito.

Passo 6

Separar variáveis e integrar.
Escrevendo de forma separada:
\ln v\, dv = -\frac{dx}{x}.
Integrar ambos os lados:
\int \ln v\, dv = -\int \frac{dx}{x}.

Passo 7

Calcular as integrais explicitamente.
Primeiro, a integral do lado direito é direta:
-\int \frac{dx}{x} = -\ln x + C_1.
Para a integral do lado esquerdo usamos integração por partes. Seja u=\ln v e dw=dv. Então du=\dfrac{1}{v}dv e w=v. Pela fórmula \int u\,dw = u w - \int w\,du temos:
\int \ln v\, dv = v\ln v - \int v\cdot\frac{1}{v}\,dv = v\ln v - \int 1\,dv = v\ln v - v.
Portanto a integração dá
v\ln v - v = -\ln x + C_1.

Passo 8

Voltar à variável original y e apresentar a solução geral (implícita).
Lembrando que v=\dfrac{y}{x}, substituímos:
\frac{y}{x}\ln\!\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{y}{x} = -\ln x + C_1.
Podemos juntar termos constantes definindo C=-C_1 (ou reorganizar), obtendo a forma mais comum da solução implícita:
\frac{y}{x}\ln\!\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{y}{x} + \ln x = C,
onde C é constante arbitrária. Lembrete: como o enunciado contém \ln x e \ln y, assumimos x>0 e y>0, então as expressões logarítmicas estão bem definidas.

Resposta

\frac{y}{x}\ln\!\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{y}{x} + \ln x = C

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