Exercício 1 - Resolva as seguintes equações fazendo a mudança de variáveis v=y / x :
\left(x-y \arctan \left(\frac{y}{x}\right)\right)+x \arctan \left(\frac{y}{x}\right) \frac{d y}{d x}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(x-y \arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)\right)+x \arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)\frac{dy}{dx}=0
e pede para resolvê‑la fazendo a mudança de variável v=\dfrac{y}{x}.\n
Informações relevantes que temos:
  • A incógnita é y(x).
  • Foi sugerida a substituição v=\dfrac{y}{x}, ou seja y=vx.
  • A expressão envolve \arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right)=\arctan(v).
  • Ao fazer a substituição teremos que cuidar de x\neq0 e de pontos onde \arctan(v)=0 (veremos se geram soluções especiais).

Passo 2

Fazer a mudança de variável. Com v=\dfrac{y}{x} temos
y=vx.
Derivando em relação a x usando a regra do produto:
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
Isto é a fórmula padrão quando se usa v=y/x. Aqui v depende de x e por isso aparece o termo x\,dv/dx.

Passo 3

Substituir y=vx e \dfrac{dy}{dx}=v+x\dfrac{dv}{dx} na equação dada:
\left(x-(vx)\arctan(v)\right)+x\arctan(v)\bigl(v+x\frac{dv}{dx}\bigr)=0.
Fatorando x onde for comum:
x\bigl(1 - v\arctan(v)\bigr) + x\arctan(v)\,v + x\arctan(v)\,x\frac{dv}{dx}=0.
Reorganizando os primeiros termos e observando que -v\arctan(v)+\arctan(v)\,v=0, sobra
x\Bigl(1 + \arctan(v)\,x\frac{dv}{dx}\Bigr)=0.
Como a substituição exige x\neq0 (senão v não está definida), podemos dividir por x e obter
1+\arctan(v)\,x\frac{dv}{dx}=0.
Assim chegamos à equação mais simples
\arctan(v)\,x\frac{dv}{dx}=-1.

Passo 4

Separar variáveis para integrar. Escrevendo de forma separável:
\arctan(v)\,dv=-\frac{dx}{x}.
A ideia de separação de variáveis é colocar todos os termos envolvendo v junto com dv e todos os termos envolvendo x junto com dx, para então integrar cada lado.

Passo 5

Integrar ambos os lados:
\int \arctan(v)\,dv = -\int \frac{dx}{x}.
Calcular a integral à esquerda por partes. Escolhemos
u=\arctan(v)\quad\Rightarrow\quad du=\frac{dv}{1+v^{2}}, \qquad dw=dv\quad\Rightarrow\quad w=v.
Pela fórmula de integração por partes \int u\,dw = u w - \int w\,du obtemos
\int \arctan(v)\,dv = v\arctan(v) - \int \frac{v}{1+v^{2}}\,dv.
A integral \int \dfrac{v}{1+v^{2}}\,dv é direta: faça a substituição s=1+v^{2}, ds=2v\,dv, logo
\int \frac{v}{1+v^{2}}\,dv = \frac{1}{2}\ln\!\bigl(1+v^{2}\bigr).
Portanto
\int \arctan(v)\,dv = v\arctan(v) - \frac{1}{2}\ln\!\bigl(1+v^{2}\bigr).

Passo 6

Voltar à igualdade integrada:
v\arctan(v) - \frac{1}{2}\ln\!\bigl(1+v^{2}\bigr) = -\ln|x| + C,
onde C é a constante de integração. Reorganizando para uma forma implícita conveniente:
v\arctan(v) - \frac{1}{2}\ln\!\bigl(1+v^{2}\bigr) + \ln|x| = C.
Finalmente substituímos v=\dfrac{y}{x} para voltar à variável original:
\frac{y}{x}\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{1}{2}\ln\!\left(1+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}\right) + \ln|x| = C.

Passo 7

Observações finais e domínio:
  • A solução obtida é implícita e válida para x\neq0 (necessário para v=y/x e para \ln|x|).
  • Não existem soluções constantes y\equiv 0 para x\neq0 (verificação direta da equação original mostra que y\equiv0 só funcionaria com x=0, que não é permitido).
  • A constante C abrange todas as soluções da família implícita encontrada.

Resposta

\frac{y}{x}\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)-\frac{1}{2}\ln\!\left(1+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}\right)+\ln|x|=C

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