Exercício 1 - Resolva as seguintes equações fazendo a mudança de variáveis
:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para resolvê‑la fazendo a mudança de variável
.\n
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A incógnita é
. - Foi sugerida a substituição
, ou seja . - A expressão envolve
. - Ao fazer a substituição teremos que cuidar de
e de pontos onde (veremos se geram soluções especiais).
Passo 2
Fazer a mudança de variável. Com
temos
Derivando em relação a
usando a regra do produto:
Isto é a fórmula padrão quando se usa
. Aqui
depende de
e por isso aparece o termo
.
Passo 3
Substituir
e
na equação dada:
Fatorando
onde for comum:
Reorganizando os primeiros termos e observando que
, sobra
Como a substituição exige
(senão
não está definida), podemos dividir por
e obter
Assim chegamos à equação mais simples
Passo 4
Separar variáveis para integrar. Escrevendo de forma separável:
A ideia de separação de variáveis é colocar todos os termos envolvendo
junto com
e todos os termos envolvendo
junto com
, para então integrar cada lado.
Passo 5
Integrar ambos os lados:
Calcular a integral à esquerda por partes. Escolhemos
Pela fórmula de integração por partes
obtemos
A integral
é direta: faça a substituição
,
, logo
Portanto
Passo 6
Voltar à igualdade integrada:
onde
é a constante de integração. Reorganizando para uma forma implícita conveniente:
Finalmente substituímos
para voltar à variável original:
Passo 7
Observações finais e domínio:
- A solução obtida é implícita e válida para
(necessário para e para ). - Não existem soluções constantes
para (verificação direta da equação original mostra que só funcionaria com , que não é permitido). - A constante
abrange todas as soluções da família implícita encontrada.