Exercício 1 - Resolva as seguintes equações fazendo a mudança de variáveis v=y / x : -y+(x+\sqrt{x y}) \frac{d y}{d x}=0
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
-y + (x+\sqrt{x y})\frac{dy}{dx}=0
e pede para resolvê‑la fazendo a mudança de variáveis v=y/x. Ou seja:
Temos uma única EDO para encontrar a família de soluções gerais y(x).
Devemos usar a substituição obrigatória v=\dfrac{y}{x}.
Passo 2
Vamos aplicar a mudança v=\dfrac{y}{x}. Primeiro escrevemos y e dy/dx em termos de v e x.
y = v x.
Derivando em relação a x (regra do produto), obtemos
\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}.
Aqui eu explico: ao derivar v x usamos que v depende de x, então a derivada é v' x + v\cdot 1, que escrevemos como x dv/dx + v.
Passo 3
Substituímos também \sqrt{x y}. Como y=vx,
x y = x\cdot(vx)=v x^2 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{x y}=\sqrt{v x^2}=x\sqrt{v},
onde, para essa manipulação, assumimos que x e y têm sinal tal que \sqrt{v} e x\sqrt{v} fazem sentido (ver observação sobre domínio no final). Agora substituímos tudo na EDO original:
- y + (x+\sqrt{x y})\frac{dy}{dx}=0
\Rightarrow\\\ -v x + \bigl(x + x\sqrt{v}\bigr)\bigl(v + x\tfrac{dv}{dx}\bigr)=0.
Passo 4
Expandimos e simplificamos para obter uma equação para v. Primeiro multiplicando:
- v x + x(1+\sqrt{v})\bigl(v + x\tfrac{dv}{dx}\bigr)=0.
Dividindo por x (assumindo x\neq0):
- v + (1+\sqrt{v})\bigl(v + x\tfrac{dv}{dx}\bigr)=0.
Agora distribuímos:
- v + (1+\sqrt{v})v + (1+\sqrt{v})x\tfrac{dv}{dx}=0.
Note que -(v) + (1+\sqrt{v})v = v + v\sqrt{v} - v = v\sqrt{v}. Então
\displaystyle \int v^{-3/2}\,dv = -2 v^{-1/2}, porque a derivada de v^{-1/2} é -\tfrac{1}{2}v^{-3/2}.
\displaystyle \int v^{-1}\,dv = \ln|v|.
\displaystyle \int \frac{dx}{x} = \ln|x|.
Portanto, após integrar:
-2 v^{-1/2} + \ln|v| = -\ln|x| + C,
onde C é a constante de integração.
Passo 6
Podemos simplificar a expressão e voltar à variável y. Multiplicando por -1 e reunindo constantes:
2 v^{-1/2} - \ln|v| = \ln|x| + C_1.
Agora substituímos v=\dfrac{y}{x}. Observe que \ln|v|=\ln\!\bigl|\tfrac{y}{x}\bigr|=\ln|y|-\ln|x|. Substituindo nessa igualdade:
2\frac{1}{\sqrt{v}} - (\ln|y|-\ln|x|)=\ln|x|+C_1.
As parcelas \ln|x| nos dois lados se cancelam:
2\frac{1}{\sqrt{v}} - \ln|y| = C_1.
Voltando a v=y/x e reescrevendo 1/\sqrt{v}=\sqrt{\dfrac{x}{y}}, obtemos a solução implícita final:
2\sqrt{\frac{x}{y}} - \ln|y| = C,
onde C é constante arbitrária (redefinição de C_1).
Observação sobre domínio: como usamos \sqrt{v} e \ln|v|, exige‑se v=\dfrac{y}{x}>0, isto é, x e y têm o mesmo sinal (e y\neq0). Para evitar complicações, normalmente toma‑se o caso x>0,\\ y>0.