A função \varphi aparece no lado direito e usa a razão y/x.
A mudança de variável exigida é v=\dfrac{y}{x}.
Não foram dadas condições iniciais nem fórmula explícita para \varphi; portanto buscamos a solução geral (implícita), e consideramos que \varphi é diferenciável onde for necessário e que \varphi'(v)\neq0 nos pontos em que usaremos divisão por \varphi'(v).
O objetivo: obter a família de soluções y(x) (ou uma relação implícita entre x e y) usando v=\dfrac{y}{x}.
Passo 2
Façamos a mudança v=\dfrac{y}{x}. Primeiro escrevo y em função de v e x:
y=vx.
Agora calculo \dfrac{dy}{dx} aplicando a regra do produto (porque v depende de x):
Explicação didática rápida: quando uma variável é produto de duas quantidades que dependem de x (aqui v(x) e x), a derivada é a derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo. Como \dfrac{d}{dx}x=1, sobra v + x\,dv/dx.
Passo 3
Substituo \dfrac{dy}{dx} e \dfrac{y}{x}=v na equação original:
v + x\frac{dv}{dx} = v + \frac{\varphi(v)}{\varphi'(v)}.
Agora simplifico cancelando o termo v dos dois lados:
x\frac{dv}{dx} = \frac{\varphi(v)}{\varphi'(v)}.
Passo 4
Temos uma equação para v(x) que é separável. Reescrevo para separar v e x:
Explicação do passo: ao multiplicar ambos os lados por \dfrac{\varphi'(v)}{\varphi(v)} e dividir por x, isolamos os termos em v no lado esquerdo e o termo em x no direito. A forma \dfrac{\varphi'(v)}{\varphi(v)} é conveniente porque lembra a derivada logarítmica.
Passo 5
Integro ambos os lados. A integral do lado esquerdo é a integral da derivada logarítmica de \varphi(v); do lado direito é a integral de 1/x. Assim:
onde C é a constante de integração. Explicando: \dfrac{d}{dv}\bigl(\ln|\varphi(v)|\bigr)=\dfrac{\varphi'(v)}{\varphi(v)}, e \int dx/x=\ln|x|+C.
Passo 6
Exponencio os dois lados para eliminar logaritmos:
\bigl|\varphi(v)\bigr| = e^{C}\,|x|.
Coloco a constante e^{C} como uma nova constante arbitrária K>0; permitindo também a constante com sinal, escrevo a forma geral
\varphi(v) = C_1 x,
onde C_1 é uma constante arbitrária (real), que pode ser positiva, negativa ou zero, dependendo do C original. Voltando à variável original v=\dfrac{y}{x}, obtemos a solução implícita
Se \varphi for inversível (localmente), podemos resolver para v:
\frac{y}{x}= \varphi^{-1}(C_1 x),
e assim obter explicitamente
\boxed{\;y(x)=x\,\varphi^{-1}(C_1 x)\;}.
A solução implícita \varphi\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)=C_1 x é a família geral de soluções, válida enquanto \varphi'\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)\neq0 (pois a equação original não está definida quando \varphi' se anula).
Passo 8
Casos singulares e observações:
Se C_1=0 a relação fica \varphi\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)=0. Se existir v_0 tal que \varphi(v_0)=0, então v=v_0 é constante e y=v_0 x é solução reta. Essas soluções são obtidas como caso C_1=0.
Atenção quando \varphi'(v_*)=0 e \varphi(v_*)\neq0: a equação original tem termo \dfrac{\varphi(v_*)}{\varphi'(v_*)} que é indefinido, logo tais valores de v estão fora do domínio da equação; soluções não podem atravessar pontos onde \varphi' se anula.
Se \varphi(v_0)=0 e \varphi'(v_0)=0 ao mesmo tempo, a análise precisa ser cuidadosa (a expressão original pode ser indeterminada) — mas se \varphi(v_0)=0 então a reta y=v_0 x ainda satisfaz a forma reduzida \dfrac{dy}{dx}=y/x, logo é solução se a expressão indeterminada for interpretada como limite que zera o termo adicional.
Resposta
\varphi\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)=C x
\displaystyle y(x)=x\,\varphi^{-1}(C x) (quando \varphi é invertível)
y=v_0 x quando \varphi(v_0)=0 (caso singular, corresponde a C=0).