Exercício 1. Resolva as seguintes inequações:

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
1x+1-1x-1;<=;1,
com domínio dado por xneq -1 e xneq 1. O conteúdo aqui é manipular frações algébricas e estudar o sinal de uma expressão racional.

Passo 2

Primeiro combinamos as duas frações do lado esquerdo num único quociente. O denominador comum é (x+1)(x-1), então
1x+1-1x-1 =x-1 - (x+1)(x+1)(x-1) =-2(x+1)(x-1)

Passo 3

Levamos o 1 para o mesmo lado e juntamos tudo numa só fração:
-2(x+1)(x-1) - 1 ;<=;0 Longrightarrow -2 - (x+1)(x-1)(x+1)(x-1) ;<=;0
No numerador temos
-2 - (x^2-1) = -x^2 -1 = -(x^2+1),
logo a inequação vira
-(x^2+1)x^2-1;<=;0

Passo 4

Multiplicamos numerador e denominador por -1, o que inverte o sinal da desigualdade:
x^2+1x^2-1;>=;0
Repare que x^2+1>0 para todo x, então o sinal desta fração é o mesmo de x^2-1.

Passo 5

Para a fração ser não-negativa, precisamos de
x^2-1>0 Long<=ftrightarrow x^2>1 Long<=ftrightarrow x<-1;ou;x>1
Não incluímos x=pm1 pois aí o denominador zera e a expressão fica indefinida.

Resposta

A solução da inequação é
(-infty,, -1);cup;(1,,infty)

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