Exercício 2. Para quais valores de
a função
(independente do valor de
)?
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pergunta para quais valores de
a função
é sempre menor que zero, ou seja,
para qualquer valor de
. O conteúdo envolvido aqui é o estudo de funções quadráticas e, mais especificamente, como determinar quando uma parábola está sempre abaixo do eixo
. Para resolver isso, vamos precisar entender o formato da função quadrática e o conceito de discriminante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de forma mais simples:
Essa é uma função quadrática na forma geral
, onde:
Passo 3
Para determinar para quais valores de
a função
é sempre menor que zero, precisamos analisar o formato da parábola que representa a função. Como o coeficiente de
(
) é negativo (
), a parábola está voltada para baixo.
Passo 4
Uma parábola voltada para baixo será sempre abaixo do eixo
se ela não tiver interseções com o eixo, ou seja, se não tiver raízes reais. Para isso, o discriminante da equação quadrática deve ser negativo.
Passo 5
O discriminante (
) de uma função quadrática é dado por:
Substituindo os valores que temos:
Passo 6
Para que a parábola não tenha raízes reais, o discriminante deve ser menor que zero:
Passo 7
Vamos resolver a inequação para encontrar
:
Resposta
Para que a função
seja sempre menor que zero, o valor de
deve ser menor que
.