Exercício 2. Para quais valores de k a função -x^2+8 x+k-1<0 (independente do valor de x )?

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pergunta para quais valores de k a função -x^2 + 8x + k - 1 é sempre menor que zero, ou seja, -x^2 + 8x + k - 1 < 0 para qualquer valor de x . O conteúdo envolvido aqui é o estudo de funções quadráticas e, mais especificamente, como determinar quando uma parábola está sempre abaixo do eixo x . Para resolver isso, vamos precisar entender o formato da função quadrática e o conceito de discriminante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de forma mais simples:
f(x) = -x^2 + 8x + (k - 1)
Essa é uma função quadrática na forma geral f(x) = ax^2 + bx + c , onde:
  • a = -1
  • b = 8
  • c = k - 1

Passo 3

Para determinar para quais valores de k a função f(x) é sempre menor que zero, precisamos analisar o formato da parábola que representa a função. Como o coeficiente de x^2 ( a ) é negativo ( a = -1 ), a parábola está voltada para baixo.

Passo 4

Uma parábola voltada para baixo será sempre abaixo do eixo x se ela não tiver interseções com o eixo, ou seja, se não tiver raízes reais. Para isso, o discriminante da equação quadrática deve ser negativo.

Passo 5

O discriminante ( De<a ) de uma função quadrática é dado por:
De<a = b^2 - 4ac
Substituindo os valores que temos:
De<a = 8^2 - 4(-1)(k - 1) = 64 + 4(k - 1) = 64 + 4k - 4 = 60 + 4k

Passo 6

Para que a parábola não tenha raízes reais, o discriminante deve ser menor que zero:
60 + 4k < 0

Passo 7

Vamos resolver a inequação para encontrar k :
60 + 4k < 0 4k < -60 k < -15

Resposta

Para que a função -x^2 + 8x + k - 1 seja sempre menor que zero, o valor de k deve ser menor que -15.

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