Exercício 2. Resolva as seguintes operações básicas no conjunto dos números reais.
(\sqrt[3]{\sqrt[4]{27}})^{4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão
\left(\sqrt[3]{\sqrt[4]{27}}\right)^{4}.
Informações dadas:
  • A expressão envolve raízes de índices 4 e 3 aplicadas ao número 27.
  • Precisa-se simplificar essa expressão até obter um número real (uma resposta final).

Passo 2

Regra importante sobre raízes e potências (lembrando com jeitinho didático):
  • A raiz n-ésima de um número positivo a pode ser escrita como potência de expoente fracionário:
\sqrt[n]{a}=a^{1/n}.
Isso significa que tomar uma raiz é o mesmo que elevar a uma potência fracionária. Por exemplo, \sqrt[4]{27}=27^{1/4}.

Passo 3

Usando a regra do passo anterior, converta cada raiz em potência:
\sqrt[4]{27}=27^{1/4},
então
\sqrt[3]{\sqrt[4]{27}}=\sqrt[3]{27^{1/4}}=\left(27^{1/4}\right)^{1/3}.
Outra regra de potências que vamos usar é:
\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m\cdot n}.
Aplicando-a ao que temos:
\left(27^{1/4}\right)^{1/3}=27^{(1/4)\cdot(1/3)}=27^{1/12}.

Passo 4

Agora falta elevar esse resultado à potência 4:
\left(\sqrt[3]{\sqrt[4]{27}}\right)^{4}=\left(27^{1/12}\right)^{4}.
Usando novamente \left(a^{m}\right)^{n}=a^{m\cdot n}, obtemos
\left(27^{1/12}\right)^{4}=27^{(1/12)\cdot 4}=27^{4/12}=27^{1/3}.

Passo 5

Simplificar 27^{1/3}. Observe que 27 é uma potência inteira de 3:
27=3^{3}.
Portanto
27^{1/3}=\left(3^{3}\right)^{1/3}=3^{3\cdot(1/3)}=3^{1}=3.

Resposta

3

Exercícios relacionados