Exercício 2. Resolva as seguintes operações básicas no conjunto dos números reais.
\sqrt{86-36}

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a expressão no conjunto dos números reais:
\sqrt{86-36}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • Os números envolvidos são \,86 e \,36.
  • A operação é a raiz quadrada de uma diferença: primeiro calcula-se a diferença (86-36) e depois a raiz quadrada desse resultado.
  • No conjunto dos números reais a raiz quadrada \sqrt{\cdot} só está definida (como número real) para radicandos não negativos. Ou seja, precisamos checar que o valor dentro da raiz é \ge 0.

Passo 2

Aplicar a ordem das operações: primeiro faz-se a subtração dentro do radicando (86-36), depois a raiz quadrada.
86-36

Passo 3

Calcular a subtração passo a passo:
86-36 = 50.
Como o radicando é \,50\ge 0, a raiz quadrada está bem definida em \mathbb{R}.

Passo 4

Lembrete didático sobre raiz quadrada e simplificação de radicais:
  • Para x\ge 0, \sqrt{x} é o único número não negativo cujo quadrado é x; isto é,
\left(\sqrt{x}\right)^2 = x.
  • Se a\ge 0 e b\ge 0, vale a propriedade
\sqrt{a b} = \sqrt{a}\,\sqrt{b}.
Essa propriedade é útil para identificar fatores quadrados perfeitos dentro do radicando e simplificar a raiz.

Passo 5

Fatorar o radicando \,50 para encontrar fatores quadrados perfeitos:
50 = 25 \cdot 2,
onde \,25 é um quadrado perfeito ( 25=5^2).

Passo 6

Usar a propriedade da raiz para simplificar:
\sqrt{50} = \sqrt{25\cdot 2} = \sqrt{25}\,\sqrt{2} = 5\sqrt{2}.

Passo 7

Verificação rápida: elevando ao quadrado o resultado obtido:
\left(5\sqrt{2}\right)^2 = 25\cdot 2 = 50,
o que confirma que 5\sqrt{2} é a raiz quadrada positiva de 50. Em forma decimal aproximada, \,5\sqrt{2}\approx 7{,}071, mas em forma exata é melhor deixar como 5\sqrt{2}.

Resposta

5\sqrt{2}

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