• Exercício 8: Resolva o sistema linear 4 times 4 abaixo utilizando matrizes inversas:
x+y+z+w=1
2x-y+3z-w=0
-x+2y-z+2w=-1
3x+y-2z-w =2

Passo 1

Estamos diante de um sistema 4times4 em que queremos encontrar (x,y,z,w) usando a ideia de matrizes inversas. O conteúdo é álgebra linear focado em resolver Ax=b encontrando A^-1 e depois x=A^-1b.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a matriz dos coeficientes e o vetor dos termos independentes. Seja
A= 1 & 1 & 1 & 1 2 & -1 & 3 & -1 -1 & 2 & -1 & 2 3 & 1 & -2 & -1 , b=10-12
A solução satisfaz
x=(x,y,z,w)^T=A^-1b

Passo 3

Para encontrar A^-1, aplicamos o método de Gauss–Jordan na forma aumentada [Amid I], executando operações elementares até obter [Imid A^-1]. Depois de todas as etapas de eliminação e pivoteamento, chega-se a
A^-1= tfrac53 & -1 & -tfrac43 & 0 -tfrac103 & tfrac52 & tfrac196 & tfrac12 -1 & 1 & 1 & 0 tfrac113 & -tfrac52 & -tfrac176 & -tfrac12

Passo 4

Agora multiplicamos A^-1 por b componente a componente:
x=tfrac53cdot1+(-1)cdot0+(-tfrac43)cdot(-1)+0cdot2=3, y=-tfrac103cdot1+tfrac52cdot0+tfrac196cdot(-1)+tfrac12cdot2=-tfrac112, z=-1cdot1+1cdot0+1cdot(-1)+0cdot2=-2, w=tfrac113cdot1+(-tfrac52)cdot0+(-tfrac176)cdot(-1)+(-tfrac12)cdot2=tfrac112

Passo 5

Substituindo de volta nas equações, vemos que as quatro são satisfeitas. Portanto, a solução do sistema é dada por (x,y,z,w)=(3,-tfrac112,-2,tfrac112).

Resposta

(x,y,z,w) = \bigl(3,,-\tfrac{11}{2},,-2,,\tfrac{11}{2}\bigr)

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