Exercício 8. Resolva os sistemas abaixo utilizando o Método da Matriz Inversa.
x+y & =2 5 x+6 y & =9

Passo 1

O enunciado dá o sistema
x + y = 2, 5x + 6y = 9,
e pede para resolver pelo método da matriz inversa. O conteúdo aqui é representação matricial de um sistema linear Ax=b e a fórmula da inversa de uma matriz 2times2. Vamos precisar calcular o determinante de A e usar a expressão fechada para A^-1.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma matricial
A = 1 & 1 [-6pt] 5 & 6, x = x [-2pt] y, b = 2 [-2pt] 9,
de modo que
A,x = b
]

Passo 3

Verificamos se A é invertível calculando o determinante:
det(A) = 1cdot6 - 5cdot1 = 6 - 5 = 1
Como det(A)neq0, a matriz A tem inversa.

Passo 4

Para uma matriz 2times2
a & b c & d,
a inversa é
1detd & -b [-2pt] -c & a
Aplicando em A, temos
A^-1 = 11 6 & -1 [-4pt] -5 & 1 = 6 & -1 [-4pt] -5 & 1
]

Passo 5

Agora obtemos a solução fazendo
x = A^-1,b = 6 & -1 [-4pt] -5 & 1 2 [-2pt] 9 = 6cdot2 + (-1)cdot9 [-6pt] -5cdot2 + 1cdot9 = 12 - 9 [-4pt] -10 + 9 = 3 [-2pt] -1
]

Resposta

x = 3, y = -1

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