Exercício 5. Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas:
cx-y+2 z-1 w=0 3 x+y+3 z+w=0 x-1 y-1 z+5 w=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método de Gauss–Jordan, o sistema
x - y + 2z - w = 0, 3x + y + 3z + w = 0, x - y - z + 5w = 0
Precisamos montar a matriz aumentada e levá-la à forma reduzida por linhas (RREF), depois ler a solução em função de parâmetros livres.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e eliminamos x das equações 2 e 3 usando as operações R2 R2-3R1 e R3 R3-R1:
[cccc|c 1 & -1 & 2 & -1 & 0 3 & 1 & 3 & 1 & 0 1 & -1 & -1 & 5 & 0 ] ;xrightarrowR2-3R1,;R3-R1; [cccc|c 1 & -1 & 2 & -1 & 0 0 & 4 & -3 & 4 & 0 0 & 0 & -3 & 6 & 0 ]

Passo 3

Tornamos o pivô de y igual a 1 dividindo R2 por 4 e eliminamos y de R1 com R1 R1+R2:
[cccc|c 1 & -1 & 2 & -1 & 0 0 & 4 & -3 & 4 & 0 0 & 0 & -3 & 6 & 0 ] ;xrightarrowR2/4,;R1+R2; [cccc|c 1 & 0 & tfrac54 & 0 & 0 0 & 1 & -tfrac34 & 1 & 0 0 & 0 & -3 & 6 & 0 ]

Passo 4

Tornamos o pivô de z igual a 1 dividindo R3 por -3 e eliminamos z das outras linhas:
[cccc|c 1 & 0 & tfrac54 & 0 & 0 0 & 1 & -tfrac34 & 1 & 0 0 & 0 & -3 & 6 & 0 ] ;xrightarrowR3/(-3),;R1-tfrac54R3,;R2+tfrac34R3; [cccc|c 1 & 0 & 0 & tfrac52 & 0 0 & 1 & 0 & -tfrac12 & 0 0 & 0 & 1 & -2 & 0 ]

Passo 5

Da forma reduzida lemos:
x + tfrac52,w = 0, y - tfrac12,w = 0, z - 2,w = 0,
onde w é parâmetro livre. Logo
x = -tfrac52,w, y = tfrac12,w, z = 2,w, w = w
Tomando w = t, a solução geral é
(x,y,z,w) = tl(-tfrac52,;tfrac12,;2,;1r), tinR

Resposta

(x,y,z,w)mid (x,y,z,w)=t(-tfrac52,tfrac12,2,1),;tinR

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