(Subseção 4.3.2 das “Notas de Aulas”) Nas “Notas de Aulas”, recorde como deduzimos a equação (x-x0)^2= 4 p(y-y0) de parábola.
Sejam p neq 0, x0 e yo reais. Mostre que se uma parábola possui diretriz d vertical com equação cartesiana x=x0-p e foco F(x0+p, y0) (portanto, vértice V(x0, y0) ), então sua equação cartesiana é da forma (y-y0)^2=4 p(x-x0), sendo que se p>0, a concavidade é para a direita e se p<0, a concavidade é para a esquerda.
Os Itens de (4) a (10) a seguir devem ser postados no Moodle em um único arquivo pdf.

Passo 1

Vamos recapitular o enunciado: queremos deduzir a forma canônica de uma parábola cujo foco é F (x0+p,y0) e cuja diretriz é a reta vertical x=x0-p. O vértice fica em V (x0,y0). Vamos usar a definição de parábola como o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da diretriz e a fórmula de distância ponto–reta.

Passo 2

Seja P (x,y) um ponto genérico da parábola. A distância de P até o foco F é dada por
PF = raiz(x - (x0 + p))^2 + (y - y0)^2
Já a distância de P até a diretriz x = x0 - p é
d = l|x - (x0 - p)r| = |x - x0 + p|

Passo 3

Pela definição de parábola, essas duas distâncias são iguais, ou seja,
raiz(x - x0 - p)^2 + (y - y0)^2 = |x - x0 + p|
Para eliminar a raiz e o valor absoluto, elevamos ao quadrado:
(x - x0 - p)^2 + (y - y0)^2 = (x - x0 + p)^2

Passo 4

Vamos expandir ambos os quadrados. No lado esquerdo:
(x - x0)^2 - 2p(x - x0) + p^2 + (y - y0)^2,
no lado direito:
(x - x0)^2 + 2p(x - x0) + p^2

Passo 5

Agora cancelamos (x - x0)^2 e p^2 que aparecem nos dois lados, resultando em
-2p(x - x0) + (y - y0)^2 = 2p(x - x0)
Reagrupando os termos com (x - x0) de um lado, obtemos
(y - y0)^2 = 2p(x - x0) + 2p(x - x0) = 4p(x - x0)

Passo 6

Chegamos à forma canônica
(y - y0)^2 = 4p, (x - x0)
Para interpretar a concavidade: se p>0, o coeficiente em x-x0 é positivo e a parábola abre para a direita; se p<0, abre para a esquerda.

Resposta

A equação cartesiana é
(y - y0)^2 = 4p,(x - x0)
Com p>0 a parábola abre para a direita e, com p<0, para a esquerda.

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