(Subseção 4.3.2 das “Notas de Aulas”) Nas “Notas de Aulas”, recorde como deduzimos a equação de parábola.
Sejam e yo reais. Mostre que se uma parábola possui diretriz vertical com equação cartesiana e foco (portanto, vértice ), então sua equação cartesiana é da forma , sendo que se , a concavidade é para a direita e se , a concavidade é para a esquerda.
Os Itens de (4) a (10) a seguir devem ser postados no Moodle em um único arquivo pdf.
Passo 1
Vamos recapitular o enunciado: queremos deduzir a forma canônica de uma parábola cujo foco é F e cuja diretriz é a reta vertical . O vértice fica em V. Vamos usar a definição de parábola como o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da diretriz e a fórmula de distância ponto–reta.
Passo 2
Seja P um ponto genérico da parábola. A distância de P até o foco F é dada por
Já a distância de P até a diretriz é
Passo 3
Pela definição de parábola, essas duas distâncias são iguais, ou seja,
raiz(x - x0 - p)^2 + (y - y0)^2 = |x - x0 + p|
Para eliminar a raiz e o valor absoluto, elevamos ao quadrado:
(x - x0 - p)^2 + (y - y0)^2 = (x - x0 + p)^2
Passo 4
Vamos expandir ambos os quadrados. No lado esquerdo:
(x - x0)^2 - 2p(x - x0) + p^2 + (y - y0)^2,
no lado direito:
(x - x0)^2 + 2p(x - x0) + p^2
Passo 5
Agora cancelamos (x - x0)^2 e p^2 que aparecem nos dois lados, resultando em
-2p(x - x0) + (y - y0)^2 = 2p(x - x0)
Reagrupando os termos com (x - x0) de um lado, obtemos
(y - y0)^2 = 2p(x - x0) + 2p(x - x0) = 4p(x - x0)
Passo 6
Chegamos à forma canônica
(y - y0)^2 = 4p, (x - x0)
Para interpretar a concavidade: se p>0, o coeficiente em x-x0 é positivo e a parábola abre para a direita; se p<0, abre para a esquerda.
Resposta
A equação cartesiana é
(y - y0)^2 = 4p,(x - x0)
Com p>0 a parábola abre para a direita e, com p<0, para a esquerda.