Sejam A=[rrr1 & 0 & 5 1 & 1 & 1 0 & 1 & -4] e X=[lx y z].
Encontre a solução geral do sistema A X=2 X.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema
onde
Isso é equivalente a encontrar os autovetores de para o autovalor , ou seja, a resolver .

Passo 2

Calculamos a matriz A-2I e escrevemos o sistema homogêneo:
A - 2I = 1-2 & 0 & 5 1 & 1-2 & 1 0 & 1 & -4-2 = -1 & 0 & 5 1 & -1 & 1 0 & 1 & -6
A equação (A-2I)X=0 gera o sistema
-x + 5z = 0 ;x - y + z = 0 ;y - 6z = 0

Passo 3

Da primeira equação -x + 5z = 0 obtemos
x = 5z
Substituindo na segunda ;x - y + z = 0
5z - y + z = 0 Longrightarrow y = 6z
A terceira equação y - 6z = 0 é então redundante, pois confirma y=6z.

Passo 4

Como é parâmetro livre, escrevemos a solução geral como
onde .

Resposta

A solução geral do sistema A X=2X é
X = t 561, tinR

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