Exercício 3-5: Resolver o sistema de equações abaixo utilizando o método de Cholesky.
c 2 x1-x2=1.962 -x1+2 x2-x3=2.943 -x2+x3=2.4525

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Cholesky. Esse método é uma maneira bacana de resolver sistemas lineares quando a matriz dos coeficientes é simétrica e positiva definida. Primeiro, precisamos identificar a matriz dos coeficientes e garantir que ela atenda a esses requisitos para aplicar o Cholesky.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial:
2 & -1 & 0 -1 & 2 & -1 0 & -1 & 1 x1 x2 x3 = 1.962 2.943 2.4525
Aqui, a matriz dos coeficientes é:
A = 2 & -1 & 0 -1 & 2 & -1 0 & -1 & 1
Vamos verificar se essa matriz é simétrica e positiva definida.

Passo 3

Observando a matriz A, vemos que é simétrica porque A^T = A. Para ser positiva definida, todos os seus autovalores devem ser positivos. Embora não vamos calcular os autovalores aqui, vamos assumir que a matriz é positiva definida para seguir com o método de Cholesky.

Passo 4

O método de Cholesky consiste em decompor a matriz A em um produto LL^T, onde L é uma matriz triangular inferior. Vamos encontrar essa matriz L.
Começamos preenchendo a matriz L com zeros e calculando os elementos passo a passo.

Passo 5

Calculamos o primeiro elemento da diagonal de L:
l11 = raiza11 = raiz2 approx 1.4142

Passo 6

Calculamos o elemento abaixo da diagonal na primeira coluna:
l21 = a21l11 = -11.4142 approx -0.7071

Passo 7

Calculamos o elemento abaixo da diagonal na segunda coluna:
l31 = a31l11 = 01.4142 = 0

Passo 8

Calculamos o segundo elemento da diagonal de L:
l22 = raiza22 - l21^2 = raiz2 - (-0.7071)^2 = raiz2 - 0.5 = raiz1.5 approx 1.2247

Passo 9

Calculamos o elemento abaixo da diagonal na terceira coluna:

Passo 10

Calculamos o terceiro elemento da diagonal de L:
l33 = raiza33 - l31^2 - l32^2 = raiz1 - 0 - (-0.8165)^2 = raiz1 - 0.6667 = raiz0.3333 approx 0.5774

Passo 11

Agora, temos a matriz L:
L approx 1.4142 & 0 & 0 -0.7071 & 1.2247 & 0 0 & -0.8165 & 0.5774

Passo 12

Com a matriz L encontrada, resolvemos o sistema LL^T x = b em duas etapas: primeiro resolvendo Ly = b e depois L^T x = y.
Primeiro, resolvemos Ly = b:
1.4142 y1 = 1.962 -0.7071 y1 + 1.2247 y2 = 2.943 -0.8165 y2 + 0.5774 y3 = 2.4525
Resolvendo a primeira equação:
y1 = 1.9621.4142 approx 1.3863

Passo 13

Substituímos y1 na segunda equação:
-0.7071 (1.3863) + 1.2247 y2 = 2.943 -0.980 + 1.2247 y2 = 2.943 1.2247 y2 = 2.943 + 0.980 1.2247 y2 = 3.923 y2 = 3.9231.2247 approx 3.204

Passo 14

Agora, substituímos y2 na terceira equação:
-0.8165 (3.204) + 0.5774 y3 = 2.4525 -2.614 + 0.5774 y3 = 2.4525 0.5774 y3 = 2.4525 + 2.614 0.5774 y3 = 5.0665 y3 = 5.06650.5774 approx 8.764

Passo 15

Agora, resolvemos L^T x = y:
1.4142 x1 - 0.7071 x2 = 1.3863 1.2247 x2 - 0.8165 x3 = 3.204 0.5774 x3 = 8.764
Resolvendo a terceira equação:
x3 = 8.7640.5774 approx 15.185

Passo 16

Substituímos x3 na segunda equação:
1.2247 x2 - 0.8165 (15.185) = 3.204 1.2247 x2 - 12.375 = 3.204 1.2247 x2 = 3.204 + 12.375 1.2247 x2 = 15.579 x2 = 15.5791.2247 approx 12.727

Passo 17

Finalmente, substituímos x2 na primeira equação:
1.4142 x1 - 0.7071 (12.727) = 1.3863 1.4142 x1 - 9 = 1.3863 1.4142 x1 = 1.3863 + 9 1.4142 x1 = 10.3863 x1 = 10.38631.4142 approx 7.337

Resposta

As soluções do sistema são aproximadamente:
x1 approx 7.337, x2 approx 12.727, x3 approx 15.185

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