Exercício 3-5: Resolver o sistema de equações abaixo utilizando o método de Cholesky.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Cholesky. Esse método é uma maneira bacana de resolver sistemas lineares quando a matriz dos coeficientes é simétrica e positiva definida. Primeiro, precisamos identificar a matriz dos coeficientes e garantir que ela atenda a esses requisitos para aplicar o Cholesky.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial:
Vamos verificar se essa matriz é simétrica e positiva definida.
Passo 3
Observando a matriz A, vemos que é simétrica porque A^T = A. Para ser positiva definida, todos os seus autovalores devem ser positivos. Embora não vamos calcular os autovalores aqui, vamos assumir que a matriz é positiva definida para seguir com o método de Cholesky.
Passo 4
O método de Cholesky consiste em decompor a matriz A em um produto LL^T, onde L é uma matriz triangular inferior. Vamos encontrar essa matriz L.
Começamos preenchendo a matriz L com zeros e calculando os elementos passo a passo.
Passo 5
Calculamos o primeiro elemento da diagonal de L:
l11 = raiza11 = raiz2 approx 1.4142
Passo 6
Calculamos o elemento abaixo da diagonal na primeira coluna:
l21 = a21l11 = -11.4142 approx -0.7071
Passo 7
Calculamos o elemento abaixo da diagonal na segunda coluna: