Sejam os vetores u, v, w e os números reais k1, k2. Provar as seguintes propriedades:
k1(k2 u)=(k1 k2) u

Passo 1

Vamos provar que, em R^n, a multiplicação escalar satisfaz a associatividade
k1l(k2,vec ur) ;=; (k1k2),vec u
Para isso vamos usar a definição de multiplicação escalar coordenada a coordenada e a associatividade do produto em R.

Passo 2

Seja vec u = (u1,u2,dots,un). Por definição de multiplicação escalar em R^n temos, para cada i=1,dots,n,
l(k2,vec ur)i ;=; k2,ui
Aplicando agora o escalar k1 a esse vetor, ainda coordenada a coordenada,
l(k1(k2,vec u)r)i ;=; k1,l((k2,vec u)ir) ;=; k1,(k2,ui)
Como os números reais são associativos no produto,
k1,(k2,ui) = (k1k2),ui
Portanto
l(k1(k2,vec u)r)i = l((k1k2),vec ur)i
para todo i.

Passo 3

Duas coordenadas iguais para todo i implicam que os vetores são iguais. Logo
k1l(k2,vec ur) = (k1k2),vec u

Resposta

Prova concluída: ,k1(k2,vec u) = (k1k2),vec u.

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