Sejam os vetores
e os números reais
. Provar as seguintes propriedades:
e
.
Passo 1
O enunciado pede para provar, em um espaço vetorial sobre
, as duas propriedades:
-
-
Vamos usar apenas os axiomas de espaço vetorial: existência de elemento neutro aditivo, inverso aditivo, e as leis distributivas entre escalares e vetores.
Passo 2
Provar que
.
Pela distributividade dos escalares sobre soma em , vale
Pela distributividade dos escalares sobre soma em
Mas
, então
Agora somamos o inverso aditivo de
em ambos os lados:
Portanto
Passo 3
Provar que
.
Esse é exatamente o axioma de existência de elemento neutro multiplicativo no corpo dos escalares: pelo axioma, o escalar satisfaz
Esse é exatamente o axioma de existência de elemento neutro multiplicativo no corpo dos escalares: pelo axioma, o escalar
para todo
. Não há outra derivação além de reconhecer que é parte da definição de espaço vetorial.