Sejam os vetores u, v, w e os números reais k1, k2. Provar as seguintes propriedades:
1 u=u e 0 u=0.

Passo 1

O enunciado pede para provar, em um espaço vetorial sobre R, as duas propriedades:
  1. 1cdot vec u = vec u
  2. 0cdot vec u = vec 0
    Vamos usar apenas os axiomas de espaço vetorial: existência de elemento neutro aditivo vec 0, inverso aditivo, e as leis distributivas entre escalares e vetores.

Passo 2

Provar que 0cdot vec u = vec 0.
Pela distributividade dos escalares sobre soma em R, vale
(0 + 0)cdot vec u = 0cdot vec u + 0cdot vec u
Mas 0+0 = 0, então
0cdot vec u = 0cdot vec u + 0cdot vec u
Agora somamos o inverso aditivo de 0cdot vec u em ambos os lados:
0;;=;;(0cdot vec u + 0cdot vec u);-;(0cdot vec u) ;=;l(0cdot vec ur)+l(0cdot vec u - 0cdot vec ur) ;=;0cdot vec u
Portanto
0cdot vec u = vec 0

Passo 3

Provar que 1cdot vec u = vec u.
Esse é exatamente o axioma de existência de elemento neutro multiplicativo no corpo dos escalares: pelo axioma, o escalar 1 satisfaz
1cdot vec u = vec u
para todo vec u. Não há outra derivação além de reconhecer que é parte da definição de espaço vetorial.

Resposta

1cdot vec u = vec u e 0cdot vec u = vec 0.

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