Mostre que o conjunto dos números ímpares possui tantos elementos quanto o conjunto dos números naturais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o conjunto dos números ímpares tem a mesma quantidade de elementos que o conjunto dos números naturais. Isso envolve um pouco de teoria dos conjuntos e a ideia de correspondência um a um entre os elementos dos dois conjuntos. Vamos precisar entender o que são conjuntos infinitos e como podemos comparar o tamanho deles usando funções especiais chamadas de bijeções.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os dois conjuntos que estamos comparando:
  • Conjunto dos números naturais: Geralmente representado por N, é o conjunto que começa em 1 e vai infinitamente: N = 1, 2, 3, 4, 5, ldots.
  • Conjunto dos números ímpares: Vamos chamar de I, que inclui todos os números naturais que não são divisíveis por 2: I = 1, 3, 5, 7, 9, ldots.

Passo 3

Para mostrar que esses dois conjuntos têm a mesma quantidade de elementos, precisamos encontrar uma função bijetora entre eles. Uma função bijetora é uma correspondência onde cada elemento de um conjunto está ligado a exatamente um elemento do outro conjunto, sem deixar nenhum de fora.

Passo 4

Vamos definir uma função f que liga cada número natural ao seu correspondente ímpar:
f(n) = 2n - 1
Aqui, n é um número natural. Por exemplo:
  • Se n = 1, então f(1) = 2(1) - 1 = 1
  • Se n = 2, então f(2) = 2(2) - 1 = 3
  • E assim por diante.

Passo 5

Agora, vamos verificar se essa função f é de fato uma bijeção:
  1. Injetora (ou um para um): Não existem dois números naturais diferentes que se mapeiam para o mesmo número ímpar. Ou seja, se f(n1) = f(n2), então n1 = n2.
    Por exemplo, se 2n1 - 1 = 2n2 - 1, então 2n1 = 2n2, e consequentemente n1 = n2.
  2. Sobrejetora: Todo número ímpar k no conjunto I tem um número natural n tal que f(n) = k.
    Se pegarmos k como um número ímpar, podemos resolver para n:
k = 2n - 1 Rightarrow n = k + 12
Como k é ímpar, k + 12 sempre resulta num número natural.

Passo 6

Como a função f(n) = 2n - 1 é injetora e sobrejetora, ela é uma bijeção. Isso significa que há uma correspondência um a um entre os números naturais e os números ímpares.

Resposta

Portanto, o conjunto dos números ímpares possui exatamente o mesmo número de elementos que o conjunto dos números naturais.

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