Mostre que o conjunto dos números ímpares possui tantos elementos quanto o conjunto dos números naturais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o conjunto dos números ímpares tem a mesma quantidade de elementos que o conjunto dos números naturais. Isso envolve um pouco de teoria dos conjuntos e a ideia de correspondência um a um entre os elementos dos dois conjuntos. Vamos precisar entender o que são conjuntos infinitos e como podemos comparar o tamanho deles usando funções especiais chamadas de bijeções.
Passo 2
Primeiro, vamos definir os dois conjuntos que estamos comparando:
- Conjunto dos números naturais: Geralmente representado por
, é o conjunto que começa em 1 e vai infinitamente: . - Conjunto dos números ímpares: Vamos chamar de
, que inclui todos os números naturais que não são divisíveis por 2: .
Passo 3
Para mostrar que esses dois conjuntos têm a mesma quantidade de elementos, precisamos encontrar uma função bijetora entre eles. Uma função bijetora é uma correspondência onde cada elemento de um conjunto está ligado a exatamente um elemento do outro conjunto, sem deixar nenhum de fora.
Passo 4
Vamos definir uma função
que liga cada número natural ao seu correspondente ímpar:
Aqui,
é um número natural. Por exemplo:
- Se
, então - Se
, então - E assim por diante.
Passo 5
Agora, vamos verificar se essa função
é de fato uma bijeção:
-
Injetora (ou um para um): Não existem dois números naturais diferentes que se mapeiam para o mesmo número ímpar. Ou seja, se
, então . Por exemplo, se, então , e consequentemente . -
Sobrejetora: Todo número ímpar
no conjunto tem um número natural tal que . Se pegarmoscomo um número ímpar, podemos resolver para :
Como
é ímpar,
sempre resulta num número natural.
Passo 6
Como a função
é injetora e sobrejetora, ela é uma bijeção. Isso significa que há uma correspondência um a um entre os números naturais e os números ímpares.
Resposta
Portanto, o conjunto dos números ímpares possui exatamente o mesmo número de elementos que o conjunto dos números naturais.