Exercício resolvido: Considere os seguintes dados da população na Terra nos respectivos anos:
\begin{aligned} \text { ANO } & - \text { POPULAÇÃO } \\\\ 1970 & : 3.70 \text { bilhão } \\\\ 1985 & : 4.86 \text { bilhão } \\\\ 2000 & : 6.12 \text { bilhão } \\\\ 2015 & : 7.28 \text { bilhão } \end{aligned}ÇÃãããã
a) Calcule a taxa média de crescimento da população mundial para cada um desses intervalos.
b) Considere o aumento da população desde o ano de 1970 até 2015. Qual é, nesse intervalo de tempo, o aumento médio anual da população?
c) Desafio: Considere a população mundial no ano 2000 , e note que em 45 anos a população quase dobrou. Suponha que a população mundial dobre a cada 50 anos. Determine, sem fazer a conta exata, qual será a ordem de grandeza da população no ano 3000.
i) Ainda considerando o crescimento médio do item anterior, o quanto a população mundial aumenta a cada minuto?
(Dica: Formule o problema e lembre-se do que significa ordem de grandeza. Então use \log _{10}(6)=0,8 e \log _{10}(2)=0,3.)

Passo 1

O enunciado fornece a população mundial em quatro anos distintos e pede:
  • (a) a taxa média de crescimento em cada intervalo usando a diferença de população dividida pelo número de anos;
  • (b) o aumento médio anual de 1970 a 2015 pelo mesmo procedimento;
  • (c) supondo dupla a cada 50 anos, a ordem de grandeza da população em 3000;
  • (c i) com o aumento médio de (b), quanto cresce por minuto.
Para isso vamos usar a fórmula da taxa média de crescimento
\text{taxa} = \frac{\text{pop}_{\text{final}} - \text{pop}_{\text{inicial}}}{\Delta t}.

Passo 2

Calcular a taxa média de 1970–1985. Aplicando
\Delta t = 1985 - 1970 = 15, \quad \text{pop}_{1985} - \text{pop}_{1970} = 4,86 - 3,70 = 1,16
temos
\text{taxa}_{1970-1985} = \frac{1,16}{15} \approx 0,0773\;\text{bilhão/ano}.ã

Passo 3

Calcular a taxa média de 1985–2000. Aqui
\Delta t = 2000 - 1985 = 15, \quad \text{pop}_{2000} - \text{pop}_{1985} = 6,12 - 4,86 = 1,26
logo
\text{taxa}_{1985-2000} = \frac{1,26}{15} = 0,0840\;\text{bilhão/ano}.ã

Passo 4

Calcular a taxa média de 2000–2015. De modo análogo,
\Delta t = 2015 - 2000 = 15, \quad \text{pop}_{2015} - \text{pop}_{2000} = 7,28 - 6,12 = 1,16
fica
\text{taxa}_{2000-2015} = \frac{1,16}{15} \approx 0,0773\;\text{bilhão/ano}.ã

Passo 5

Para o item (b), o aumento médio anual de 1970 a 2015 é
\Delta t = 2015 - 1970 = 45, \quad \text{pop}_{2015} - \text{pop}_{1970} = 7,28 - 3,70 = 3,58
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\text{taxa}_{1970-2015} = \frac{3,58}{45} \approx 0,0796\;\text{bilhão/ano}.ã

Passo 6

No desafio (c), partindo de \text{pop}_{2000}=6,12 bilhões e dobrando a cada 50 anos, em 1000 anos (de 2000 a 3000) teremos
n = \frac{1000}{50} = 20\\ \text{dobras},
fator de crescimento
2^{20} = 10^{20\log_{10}2} \approx 10^{20\cdot0,3} = 10^{6}.
Então
\text{pop}_{3000} \approx 6,12\times10^{9}\times10^{6} =6,12\times10^{15}.
A ordem de grandeza é 10^{16}.

Passo 7

Para (c i), usando o aumento médio de (b), isto é 0,0796 bilhão/ano = 7,96\times10^{7} pessoas/ano, convertemos em pessoas/minuto dividindo por 365\cdot24\cdot60=525600:
\frac{7,96\times10^{7}}{525600} \approx 151\;\text{pessoas/min}.
A ordem de grandeza é 10^{2}.

Resposta

a) \text{taxa}_{1970-1985}\approx0,0773 bilhão/ano, \text{taxa}_{1985-2000}=0,0840 bilhão/ano, \text{taxa}_{2000-2015}\approx0,0773 bilhão/ano.
b)
Aumento médio anual 1970–2015 \approx0,0796 bilhão/ano.
c)
Em 3000, \text{pop}\approx6{,}12\times10^{15}, ordem de grandeza 10^{16}.
c i)
A população cresce \approx151 pessoas por minuto, ordem de grandeza 10^{2}.

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