Exercício 7. Responda, justificando sua resposta.
No conjunto dos números reais, se a^2=1 então a=-1 ou a=1. O mesmo vale para matrizes? Isto é, se A^2=I então A=-I ou A=I ?

Passo 1

O enunciado compara o caso escalar — em que, para um número real a, a condição a^2=1 implica a=1 ou a=-1 — com o caso matricial: será que, para uma matriz real A, a condição
A^2 = I
implica necessariamente A=I ou A=-I? Precisaremos usar teoria de polinômios de matrizes, autovalores e um contraexemplo concreto.

Passo 2

Quando uma matriz A satisfaz uma equação polinomial p(A)=0, o polinômio mínimo de A divide p(x). Aqui temos
p(x)=x^2-1=(x-1)(x+1),
logo o polinômio mínimo de A só pode ter raízes em 1,-1. Isso garante que todos os autovalores de A são +1 ou -1. Mas ter autovalores pm1 não força A a ser pm I: basta existir uma decomposição em subespaços próprios com autovalores diferentes.

Passo 3

Vamos dar um contraexemplo simples em R^2. Considere a matriz de permutação
A = 0 & 11 & 0
Ela troca as coordenadas de um vetor (x,y)mapsto(y,x).

Passo 4

Calculamos
A^2 = 0 & 11 & 0^2 = 0cdot0 + 1cdot1 & 0cdot1 + 1cdot0[4pt] 1cdot0 + 0cdot1 & 1cdot1 + 0cdot0 = 1 & 00 & 1 = I
Porém claramente
A = 0 & 11 & 0 neq 1 & 00 & 1 e A neq -I ]

Passo 5

Concluímos que há matrizes involutórias (isto é, satisfazendo A^2=I) diferentes de pm I. Logo a propriedade escalar não se generaliza diretamente para matrizes.

Resposta

Não. Por exemplo,
A=0 & 11 & 0
satisfaz A^2=I mas não é nem I nem -I.

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