Exercício 7. Responda, justificando sua resposta.
No conjunto dos números reais, se
então
ou
. O mesmo vale para matrizes? Isto é, se
então
ou
?
No conjunto dos números reais, se
Passo 1
O enunciado compara o caso escalar — em que, para um número real
, a condição
implica
ou
— com o caso matricial: será que, para uma matriz real
, a condição
implica necessariamente
ou
? Precisaremos usar teoria de polinômios de matrizes, autovalores e um contraexemplo concreto.
Passo 2
Quando uma matriz
satisfaz uma equação polinomial
, o polinômio mínimo de
divide
. Aqui temos
logo o polinômio mínimo de
só pode ter raízes em
. Isso garante que todos os autovalores de
são
ou
. Mas ter autovalores
não força
a ser
: basta existir uma decomposição em subespaços próprios com autovalores diferentes.
Passo 3
Vamos dar um contraexemplo simples em
. Considere a matriz de permutação
Ela troca as coordenadas de um vetor
.
Passo 4
Calculamos
Porém claramente
Passo 5
Concluímos que há matrizes involutórias (isto é, satisfazendo
) diferentes de
. Logo a propriedade escalar não se generaliza diretamente para matrizes.
Resposta
Não. Por exemplo,
satisfaz
mas não é nem
nem
.