Exercício 7. Responda, justificando sua resposta.
Sejam e números reais. Se e então . Esta propriedade vale para matrizes?
Passo 1
O enunciado compara a propriedade de cancelamento em — “se e então ” — e pergunta se algo análogo vale para matrizes. O conteúdo é a lei de cancelamento em álgebras (neste caso, no anel das matrizes) e veremos que a chave é a existência de inversa.
Passo 2
Em , se então existe o inverso multiplicativo . Dado
multiplicamos à esquerda por e obtemos
logo . A existência de é essencial.
Passo 3
Para matrizes, seja uma matriz quadrada tal que . Se for invertível (ou seja, existir ), multiplicamos à esquerda por e chegamos a
logo . Portanto o cancelamento vale sempre que for invertível.
Passo 4
Se não for invertível (matriz singular), pode haver “divisores de zero” e o cancelamento falha. Por exemplo, tome
Então
AB = 1&00&0 0&01&0 = 0&00&0 e AC = 1&00&0 0&00&0 = 0&00&0,
logo AB=AC mas claramente Bneq C.
Passo 5
Concluímos que, ao contrário dos reais, nem toda matriz não nula é cancelável. A lei de cancelamento vale em matrizes se e somente se o fator pela esquerda for uma matriz invertível.
Resposta
A propriedade de cancelamento não vale para todas as matrizes: ela só vale quando a matriz A for invertível; no caso geral de A singular, podemos ter AB=AC com Bneq C.