Exercício 7. Responda, justificando sua resposta.
Sejam a, b e c números reais. Se a neq 0 e a cdot b=a cdot c então b=c. Esta propriedade vale para matrizes?

Passo 1

O enunciado compara a propriedade de cancelamento em R — “se aneq0 e a,b=a,c então b=c” — e pergunta se algo análogo vale para matrizes. O conteúdo é a lei de cancelamento em álgebras (neste caso, no anel das matrizes) e veremos que a chave é a existência de inversa.

Passo 2

Em R, se aneq0 então existe o inverso multiplicativo a^-1. Dado
a,b=a,c,
multiplicamos à esquerda por a^-1 e obtemos
b = a^-1(a,b) = (a^-1a),b = 1cdot b = b e a^-1(a,c)=c,
logo b=c. A existência de a^-1 é essencial.

Passo 3

Para matrizes, seja A uma matriz quadrada tal que AB=AC. Se A for invertível (ou seja, existir A^-1), multiplicamos à esquerda por A^-1 e chegamos a
B = A^-1(AB) = (A^-1A)B = B, C = A^-1(AC) = C,
logo B=C. Portanto o cancelamento vale sempre que A for invertível.

Passo 4

Se A não for invertível (matriz singular), pode haver “divisores de zero” e o cancelamento falha. Por exemplo, tome
A = 1 & 0 0 & 0, B = 0 & 0 1 & 0, C = 0 & 0 0 & 0
Então
AB = 1&00&0 0&01&0 = 0&00&0 e AC = 1&00&0 0&00&0 = 0&00&0,
logo AB=AC mas claramente Bneq C.

Passo 5

Concluímos que, ao contrário dos reais, nem toda matriz não nula é cancelável. A lei de cancelamento vale em matrizes se e somente se o fator pela esquerda for uma matriz invertível.

Resposta

A propriedade de cancelamento não vale para todas as matrizes: ela só vale quando a matriz A for invertível; no caso geral de A singular, podemos ter AB=AC com Bneq C.

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