Exercício 7. Responda, justificando sua resposta.
Os números reais têm a propriedade da comutatividade, isto é, , quaisquer que sejam . A mesma propriedade vale para matrizes? Isto é, se e são matrizes quadradas, é verdade que ?
Passo 1
O enunciado pergunta se a multiplicação de matrizes quadradas é comutativa, isto é, se para quaisquer matrizes vale sempre
O conteúdo envolvido é a definição de produto de matrizes e a propriedade (não) comutativa desse produto.
Passo 2
Lembrando a definição: para duas matrizes quadradas de ordem , o elemento do produto é
Para o produto temos
Em geral esses somatórios não coincidem, então não há garantia de que .
Passo 3
Para mostrar que a comutatividade falha, basta um contra-exemplo em dimensão . Escolhemos
Passo 4
Calculando os dois produtos:
AB = 0 & 1 0 & 0 0 & 0 1 & 0 = 1 & 0 0 & 0,
BA = 0 & 0 1 & 0 0 & 1 0 & 0 = 0 & 0 0 & 1
Passo 5
Observe que
1 & 0 0 & 0 neq 0 & 0 0 & 1,
logo ABneq BA. Isso mostra que, ao contrário dos números reais, o produto de matrizes não é comutativo em geral.
Resposta
Não. Em geral AB neq BA, como demonstra o contra-exemplo acima.