Exercício 7. Responda, justificando sua resposta.
Os números reais têm a propriedade da comutatividade, isto é, a cdot b=b cdot a, quaisquer que sejam a, b in R. A mesma propriedade vale para matrizes? Isto é, se A e B são matrizes quadradas, é verdade que A B=B A ?

Passo 1

O enunciado pergunta se a multiplicação de matrizes quadradas é comutativa, isto é, se para quaisquer matrizes A,B vale sempre
AB = BA
O conteúdo envolvido é a definição de produto de matrizes e a propriedade (não) comutativa desse produto.

Passo 2

Lembrando a definição: para duas matrizes quadradas de ordem n, o elemento (i,j) do produto AB é
(AB)ij ;=;sumk=1^n Aik,Bkj
Para o produto BA temos
(BA)ij ;=;sumk=1^n Bik,Akj
Em geral esses somatórios não coincidem, então não há garantia de que AB=BA.

Passo 3

Para mostrar que a comutatividade falha, basta um contra-exemplo em dimensão 2. Escolhemos
A = 0 & 1 0 & 0, B = 0 & 0 1 & 0

Passo 4

Calculando os dois produtos:
AB = 0 & 1 0 & 0 0 & 0 1 & 0 = 1 & 0 0 & 0,
BA = 0 & 0 1 & 0 0 & 1 0 & 0 = 0 & 0 0 & 1

Passo 5

Observe que
1 & 0 0 & 0 neq 0 & 0 0 & 1,
logo ABneq BA. Isso mostra que, ao contrário dos números reais, o produto de matrizes não é comutativo em geral.

Resposta

Não. Em geral AB neq BA, como demonstra o contra-exemplo acima.

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