Exercício 8. Responda Verdadeiro ou Falso, justificando sua resposta :
a) Se B=A A^t, então B=B^t;
b) Se A^2=0 então A=0;
c) (-A)(-B)=-(A B);
d) Se A=[rr-2 & 1 3 & 2], então A^2=[ll4 & 1 9 & 4];
e) Se A e B são matrizes n times n tais que A B=B A, então (A B)^3=A^3 B^3;
f) (A+B)^t=B^t+A^t.

Passo 1

O enunciado pede para decidir V (verdadeiro) ou F (falso) em seis afirmações sobre matrizes, envolvendo produto, transposta, nilpotência e comutatividade. O conteúdo que vamos usar inclui as propriedades de transposta de um produto, exemplos de matrizes nilpotentes, regras de sinais em produto de matrizes, cálculo direto de produto de matrizes e o fato de que a transposta distribui sobre soma.

Passo 2

a) Seja B = A,A^t. Então
B^t = (A,A^t)^t = (A^t)^t,A^t = A,A^t = B,
logo B é simétrica e a afirmação “ B = B^t” é verdadeira.

Passo 3

b) A condição A^2 = 0 não implica A=0 em geral, pois existem matrizes nilpotentes não nulas. Por exemplo,
A = 0 & 1[6pt]0 & 0 Rightarrow A^2 = 0 & 0[6pt]0 & 0,
mas Aneq0. Logo a afirmação é falsa.]

Passo 4

c) Usando regra de sinais,
(-A)(-B) = (-1)A,( -1)B = (+1),(A B) = A B,
e não -,A B. Portanto a afirmação “ (-A)(-B)=-(A B)” é falsa.

Passo 5

d) Para
A=-2 & 1[4pt]3 & 2, calculamos
A^2 = -2 & 1[4pt]3 & 2 -2 & 1[4pt]3 & 2 = (-2)(-2)+1cdot3 & (-2)cdot1+1cdot2[4pt]3cdot(-2)+2cdot3 & 3cdot1+2cdot2 = 7 & 0[4pt]0 & 7,
que difere de 4 & 1[4pt]9 & 4. Logo a afirmação é falsa.]

Passo 6

e) Se A e B comutam ( AB=BA), então
(AB)^3 = AB,AB,AB = A,l(BAr),B,AB = A,(AB),(AB),B = (A,A,A),(B,B,B) = A^3B^3
Portanto a afirmação é verdadeira.

Passo 7

f) A transposta distribui sobre soma:
(A+B)^t = A^t + B^t
Como a soma é comutativa, isso também pode ser escrito B^t+A^t. Logo a afirmação é verdadeira.

Resposta

(a) V
(b) F
(c) F
(d) F
(e) V
(f) V

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