Exercício 8. Responda Verdadeiro ou Falso, justificando sua resposta :
a) Se , então ;
b) Se então ;
c) ;
d) Se , então A^2=[ll4 & 1 9 & 4];
e) Se A e B são matrizes n times n tais que A B=B A, então (A B)^3=A^3 B^3;
f) (A+B)^t=B^t+A^t.
Passo 1
O enunciado pede para decidir V (verdadeiro) ou F (falso) em seis afirmações sobre matrizes, envolvendo produto, transposta, nilpotência e comutatividade. O conteúdo que vamos usar inclui as propriedades de transposta de um produto, exemplos de matrizes nilpotentes, regras de sinais em produto de matrizes, cálculo direto de produto de matrizes e o fato de que a transposta distribui sobre soma.
Passo 2
a) Seja B = A,A^t. Então
B^t = (A,A^t)^t = (A^t)^t,A^t = A,A^t = B,
logo B é simétrica e a afirmação “B = B^t” é verdadeira.
Passo 3
b) A condição A^2 = 0 não implica A=0 em geral, pois existem matrizes nilpotentes não nulas. Por exemplo,