Exercício 7. Responda, justificando sua resposta.
Se A é uma matriz quadrada, é verdade que os elementos de A^2 são todos maiores ou iguais a zero?

Passo 1

O enunciado pergunta se, para qualquer matriz quadrada A, todos os elementos de A^2 são não negativos. O conteúdo aqui é a definição de multiplicação de matrizes: o elemento (i,j) de A^2 é
(A^2)ij = sumk Aik,Akj

Passo 2

Para refutar essa afirmação, basta encontrar um contra-exemplo. Considere
A = 0 & 1 -1 & 0
Calculando A^2 pelos produtos linha timescoluna, temos
(A^2)11 = 0cdot0 + 1cdot(-1) = -1, (A^2)12 = 0cdot1 + 1cdot0 = 0,
(A^2)21 = (-1)cdot0 + 0cdot(-1) = 0, (A^2)22 = (-1)cdot1 + 0cdot0 = -1

Passo 3

Portanto
A^2 = -1 & 0 [6pt] 0 & -1,
que claramente possui entradas -1<0. Logo, a afirmação é falsa, pois já existe matriz quadrada cujo quadrado tem elementos negativos.]

Resposta

A afirmação é falsa.

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