Nos exercícios 25 a 31 discuta a convergência das integrais impróprias.
\int_{1}^{\infty} \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{8}+x^{6}+2}} d x
\left() compare \left.\operatorname{com} \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{8}}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para discutir a convergência da integral imprópria
\int_{1}^{\infty} \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{8}+x^{6}+2}}\,dx
que é problemática no infinito. O conteúdo aqui é o teste de comparação de integrais impróprias, usando uma função mais simples que domine o comportamento em x\to\infty.

Passo 2

Analisando o comportamento para x grande, note que em \sqrt{x^{8}+x^{6}+2}
o termo x^{8} domina. Então, para x grande,
\sqrt{x^{8}+x^{6}+2}\approx \sqrt{x^{8}} = x^{4},
e o integrando se comporta como
\frac{x^{2}}{x^{4}} = x^{-2}.

Passo 3

Para tornar isso rigoroso, para todo x\ge1 vale
x^{8}+x^{6}+2 \ge x^{8} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x^{8}+x^{6}+2}\ge x^{4},
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0 \le \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{8}+x^{6}+2}} \le \frac{x^{2}}{x^{4}} = x^{-2}.

Passo 4

Sabemos que a integral-padrão
\int_{1}^{\infty} x^{-2}\,dx
é convergente, pois é um p-integral com p=2>1. De fato,
\int_{1}^{R} x^{-2}\,dx = \bigl[-x^{-1}\bigr]_{1}^{R} = 1 - \frac1R \;\xrightarrow[R\to\infty]{}\;1.

Passo 5

Pelo teste da comparação, como \displaystyle \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{8}+x^{6}+2}}\le x^{-2}
e \int_{1}^{\infty}x^{-2}dx converge, conclui-se que a integral dada também converge.

Resposta

A integral \displaystyle \int_{1}^{\infty} \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{8}+x^{6}+2}}\,dx
converge, por comparação com \displaystyle\int_{1}^{\infty}x^{-2}\,dx.

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