Nos exercícios 25 a 31 discuta a convergência das integrais impróprias. \int_{1}^{\infty} \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{8}+x^{6}+2}} d x
\left() compare \left.\operatorname{com} \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{8}}}\right)
Passo 1
O enunciado pede para discutir a convergência da integral imprópria
que é problemática no infinito. O conteúdo aqui é o teste de comparação de integrais impróprias, usando uma função mais simples que domine o comportamento em x\to\infty.
Passo 2
Analisando o comportamento para x grande, note que em \sqrt{x^{8}+x^{6}+2}
o termo x^{8} domina. Então, para x grande,
Pelo teste da comparação, como \displaystyle \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{8}+x^{6}+2}}\le x^{-2}
e \int_{1}^{\infty}x^{-2}dx converge, conclui-se que a integral dada também converge.
Resposta
A integral \displaystyle \int_{1}^{\infty} \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{8}+x^{6}+2}}\,dx
converge, por comparação com \displaystyle\int_{1}^{\infty}x^{-2}\,dx.