Exercício 3. A reta r passa pelos pontos (1,5) e (3,11); e a reta l passa por (2,-11) e (-2,5).
(i) Determine a equação da reta r.
(ii) Determine a equação da reta l.
(iii) Em qual ponto as retas r e l se cruzam?

Passo 1

O enunciado pede para achar as equações de duas retas dadas por pares de pontos e depois encontrar o ponto de interseção dessas retas. O conteúdo aqui é geometria analítica:
usamos a fórmula do coeficiente angular
m = y2 - y1x2 - x1
e a forma ponto-inclinação
y - y0 = m,(x - x0)
para montar cada equação. Em seguida, resolvemos o sistema formado pelas duas retas para achar o ponto de cruzamento.

Passo 2

Para a reta r que passa por (1,5) e (3,11), calculamos o coeficiente angular:
mr = 11 - 53 - 1 = 62 = 3
Usando a forma ponto-inclinação com o ponto (1,5):
y - 5 = 3,(x - 1)
y - 5 = 3x - 3
y = 3x + 2

Passo 3

Para a reta l que passa por (2,-11) e (-2,5), o coeficiente angular é:
ml = 5 - (-11)-2 - 2 = 16-4 = -4
Usando o ponto (2,-11):
y + 11 = -4,(x - 2)
y + 11 = -4x + 8
y = -4x - 3

Passo 4

Para achar o ponto de interseção, igualamos as duas expressões de y:
3x + 2 = -4x - 3
Somando 4x e subtraindo 2 de ambos os lados:
7x = -5 Longrightarrow x = -57
Substituindo em y = 3x + 2:
y = 3l(-tfrac57r) + 2 = -tfrac157 + tfrac147 = -tfrac17

Resposta

(i) y = 3x + 2
(ii) y = -4x - 3
(iii) As retas se cruzam em l(-tfrac57, -tfrac17r).

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