A função f(x) é periodica se existir um número T positivo (período da função) tal, que f(x+T) equiv f(x) para todos os valores de x, pertencentes ao campo de existência da função f(x).
Determinar quais das funçães abaixo enumeradas são periódicas e achar, para as funções periódicas, o período mínimo de seus T :
f(x)=a sen lambda x+b cos lambda x

Passo 1

O enunciado define periodicidade dizendo que f é periódica se existe T>0 tal que
f(x+T)=f(x)forall x
Aqui temos
f(x)=asen(lambda x)+bcos(lambda x)
O conteúdo é função trigonométrica e vamos usar que sen e cos são periódicas de período 2pi.

Passo 2

Primeiro note que
sen(lambda(x+T))=sen(lambda x+lambda T) e cos(lambda(x+T))=cos(lambda x+lambda T)
Para que ambos voltem aos valores originais basta ter
lambda T=2pi k, kinZ
O menor T>0 satisfazendo isto é
T=2pi|lambda|(tomamos k=1)

Passo 3

Como sen(lambda x) e cos(lambda x) têm o mesmo período fundamental tfrac2pi|lambda|, qualquer combinação linear
asen(lambda x)+bcos(lambda x)
também terá este período (ou um divisor, mas não há divisor menor que tfrac2pi|lambda| que funcione para ambos simultaneamente).

Passo 4

Caso especial: se lambda=0, então
f(x)=asen(0)+bcos(0)=b
é constante, logo periódica para qualquer T>0, sem período mínimo bem-definido.

Resposta

Para lambdaneq0 a função é periódica de período mínimo
T=2pi|lambda|
Para lambda=0 a função é constante ( f(x)=b) e não tem período mínimo único.

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