Uma lâmina plana é limitada pelos gráficos de e . Ache o centro de massa, sabendo-se que a densidade no ponto é diretamente proporcional à distância de ao eixo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o centro de massa de uma lâmina plana que está limitada pelas curvas e . A matéria envolvida aqui é de Cálculo, especificamente na área de integração para encontrar o centro de massa de uma região com densidade variável. Precisamos saber como integrar funções de duas variáveis e entender como a densidade está distribuída na lâmina. Neste caso, a densidade no ponto é proporcional à distância de ao eixo , ou seja, à coordenada .
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos estudando. As curvas e se intersectam quando , o que dá e . Então, nossa lâmina está entre e , e de até .
Passo 3
A densidade é diretamente proporcional à distância de ao eixo . Como a distância de ao eixo é , podemos escrever , onde é uma constante de proporcionalidade. Para simplificar os cálculos, podemos considerar , já que ele vai se cancelar nas equações.
Passo 4
Agora, vamos lembrar que o centro de massa de uma região com densidade variável é dado por:
x = integral duplaD x de<a(x, y) , dAintegral duplaD de<a(x, y) , dA
y = integral duplaD y de<a(x, y) , dAintegral duplaD de<a(x, y) , dA
Aqui, D é a região da lâmina, e dA representa um elemento de área.
Passo 5
Vamos calcular a massa total M da lâmina:
M = integral duplaD de<a(x, y) , dA = integral duplaD |x| , dA
Para integrar, vamos usar coordenadas cartesianas. Já que a região é simétrica em relação ao eixo y , podemos simplificar os cálculos focando apenas em x >= 0 e depois dobrar o resultado.
Passo 6
Estabelecendo os limites de integração:
x varia de -2 a 2
Para cada x , y varia de x^2 a 4
Então, a integral para a massa total fica:
M = integral-2^2 integralx^2^4 |x| , dy , dx
Devido à simetria, podemos calcular de 0 a 2 e multiplicar por 2:
M = 2 integral0^2 integralx^2^4 x , dy , dx
Passo 7
Vamos calcular a integral interna em y :
integralx^2^4 x , dy = x cdot (4 - x^2)
Agora, a massa total:
M = 2 integral0^2 x (4 - x^2) , dx = 2 integral0^2 (4x - x^3) , dx