Uma lâmina plana é limitada pelos gráficos de y=x^2 e y=4. Ache o centro de massa, sabendo-se que a densidade no ponto P=(x, y) é diretamente proporcional à distância de P ao eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o centro de massa de uma lâmina plana que está limitada pelas curvas y = x^2 e y = 4 . A matéria envolvida aqui é de Cálculo, especificamente na área de integração para encontrar o centro de massa de uma região com densidade variável. Precisamos saber como integrar funções de duas variáveis e entender como a densidade está distribuída na lâmina. Neste caso, a densidade no ponto P = (x, y) é proporcional à distância de P ao eixo y , ou seja, à coordenada x .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos estudando. As curvas y = x^2 e y = 4 se intersectam quando x^2 = 4 , o que dá x = -2 e x = 2 . Então, nossa lâmina está entre x = -2 e x = 2 , e de y = x^2 até y = 4 .

Passo 3

A densidade de<a(x, y) é diretamente proporcional à distância de P ao eixo y . Como a distância de P = (x, y) ao eixo y é |x| , podemos escrever de<a(x, y) = k|x| , onde k é uma constante de proporcionalidade. Para simplificar os cálculos, podemos considerar k = 1 , já que ele vai se cancelar nas equações.

Passo 4

Agora, vamos lembrar que o centro de massa (x, y) de uma região com densidade variável é dado por:
x = integral duplaD x de<a(x, y) , dAintegral duplaD de<a(x, y) , dA
y = integral duplaD y de<a(x, y) , dAintegral duplaD de<a(x, y) , dA
Aqui, D é a região da lâmina, e dA representa um elemento de área.

Passo 5

Vamos calcular a massa total M da lâmina:
M = integral duplaD de<a(x, y) , dA = integral duplaD |x| , dA
Para integrar, vamos usar coordenadas cartesianas. Já que a região é simétrica em relação ao eixo y , podemos simplificar os cálculos focando apenas em x >= 0 e depois dobrar o resultado.

Passo 6

Estabelecendo os limites de integração:
  • x varia de -2 a 2
  • Para cada x , y varia de x^2 a 4
Então, a integral para a massa total fica:
M = integral-2^2 integralx^2^4 |x| , dy , dx
Devido à simetria, podemos calcular de 0 a 2 e multiplicar por 2:
M = 2 integral0^2 integralx^2^4 x , dy , dx

Passo 7

Vamos calcular a integral interna em y :
integralx^2^4 x , dy = x cdot (4 - x^2)
Agora, a massa total:
M = 2 integral0^2 x (4 - x^2) , dx = 2 integral0^2 (4x - x^3) , dx
Integrando termo a termo:
M = 2 [ 2x^2 - x^44 ]0^2 = 2 [ 2(4) - 164 ] = 2 (8 - 4) = 8

Passo 8

Agora, vamos calcular integral duplaD x de<a(x, y) , dA :
integral duplaD x |x| , dA = integral duplaD x^2 , dA
De novo, usando a simetria:
integral duplaD x^2 , dA = 2 integral0^2 integralx^2^4 x^2 , dy , dx
Calculando a integral interna:
integralx^2^4 x^2 , dy = x^2 (4 - x^2)
Então:
integral duplaD x^2 , dA = 2 integral0^2 x^2 (4 - x^2) , dx = 2 integral0^2 (4x^2 - x^4) , dx
Integrando:
2 [ 4x^33 - x^55 ]0^2 = 2 [ 323 - 325 ] = 2 ( 160 - 9615 ) = 2 ( 6415 ) = 12815
Portanto:
x = 128158 = 1615

Passo 9

Agora, vamos calcular integral duplaD y de<a(x, y) , dA :
integral duplaD y |x| , dA
Usando a simetria novamente:
integral duplaD y |x| , dA = 2 integral0^2 integralx^2^4 y x , dy , dx
Calculando a integral interna em y :
integralx^2^4 y x , dy = x [ y^22 ]x^2^4 = x ( 162 - x^42 ) = x ( 8 - x^42 )
Então:
integral duplaD y |x| , dA = 2 integral0^2 ( 8x - x^52 ) , dx = 2 [ 4x^2 - x^612 ]0^2
Calculando:
2 [ 4(4) - 6412 ] = 2 [ 16 - 163 ] = 2 ( 48 - 163 ) = 2 ( 323 ) = 643
Portanto:
y = 6438 = 83

Resposta

O centro de massa da lâmina é ( dfrac1615, dfrac83 ) .

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