Exercício 3. Quais dos seguintes subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial real (F(R),+, cdot)? Justifique sua resposta.
W=f in F(R) ; f(x^2)=f(x)^2, para todo x in R.

Passo 1

O enunciado pede para saber se
W = ,fin F( R)mid f(x^2)=f(x)^2 forall xin R
é um subespaço vetorial de F( R).
Para isso precisamos verificar se
  1. o vetor zero está em W,
  2. W é fechado sob soma,
  3. W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos o vetor zero, isto é, a função f0(x)=0.
Para todo x vale
f0(x^2)=0
e
f0(x)^2 = 0^2 = 0,
logo f0(x^2)=f0(x)^2 e f0in W.

Passo 3

Testamos a soma: escolhemos
,f1(x)=x e ,f2(x)=1.
Para f1:
f1(x^2)=x^2
e
f1(x)^2 = x^2,
logo f1in W.
Para f2:
f2(x^2)=1
e
f2(x)^2 = 1,
logo f2in W.
Mas para f1+f2 temos
(f1+f2)(x^2)=x^2+1
enquanto
l((f1+f2)(x)r)^2=(x+1)^2=x^2+2x+1.
Como x^2+1neq x^2+2x+1 para todo x, fica
f1+f2notin W.
Portanto W não é fechado sob soma.

Passo 4

Para ver a falha na multiplicação escalar, seja fin W e cin R.
(cf)(x^2)=c,f(x^2)=c,f(x)^2
mas
(cf)(x)^2=(c,f(x))^2=c^2,f(x)^2
Para estas ser iguais para todo x precisamos de c,f(x)^2=c^2,f(x)^2,
logo c=c^2 ou f(x)=0 sempre.
Como nem todo fin W é a função zero, a igualdade força c=0 ou c=1,
logo não vale para qualquer escalar c.

Resposta

W não é subespaço vetorial de F( R).

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