Exercício 3. Quais dos seguintes subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial real
? Justifique sua resposta.
, para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para saber se
é um subespaço vetorial de .
Para isso precisamos verificar se
é um subespaço vetorial de
Para isso precisamos verificar se
- o vetor zero está em
, -
é fechado sob soma, -
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos o vetor zero, isto é, a função
.
Para todo vale
Para todo
e
logo
e
.
Passo 3
Testamos a soma: escolhemos
e
.
Para :
Para
e
logo
.
Para :
Para
e
logo
.
Mas para temos
enquanto
.
Como para todo
, fica
.
Portanto não é fechado sob soma.
Mas para
enquanto
Como
Portanto
Passo 4
Para ver a falha na multiplicação escalar, seja
e
.
mas
Para estas ser iguais para todo
precisamos de
,
logo ou
sempre.
Como nem todo é a função zero, a igualdade força
ou
,
logo não vale para qualquer escalar .
logo
Como nem todo
logo não vale para qualquer escalar