Exercício 1. Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto
é um subespaço vetorial do espaço vetorial
.
, munido das operações usuais e
.
Passo 1
O enunciado diz que temos o espaço vetorial
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar, e o subconjunto
isto é, o conjunto de todas as matrizes simétricas. Para mostrar que
é um subespaço de
, precisamos verificar três propriedades fundamentais:
-
não é vazio (contém o vetor zero). -
é fechado sob soma de vetores. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Mostramos que
contém a matriz zero. Seja
a matriz
cujos elementos são todos zero. Então
logo
. Assim,
não é vazio e contém o elemento neutro da soma de
.
Passo 3
Verificamos a estabilidade de
pela soma. Sejam
. Então
Tomando a soma, temos
ou seja,
também é simétrica. Portanto
.
Passo 4
Verificamos a estabilidade de
pela multiplicação por escalar. Seja
e
. Como
, temos
Logo
é também simétrica, de modo que
.