Exercício 1. Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto W é um subespaço vetorial do espaço vetorial (V,+, cdot).
V=Mn(R), munido das operações usuais e W=A in Mn(R) ; A^t=A.

Passo 1

O enunciado diz que temos o espaço vetorial V = Mn(R) com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar, e o subconjunto
W = ,A in Mn(R) mid A^t = A,
isto é, o conjunto de todas as matrizes simétricas. Para mostrar que W é um subespaço de V, precisamos verificar três propriedades fundamentais:
  1. W não é vazio (contém o vetor zero).
  2. W é fechado sob soma de vetores.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos que W contém a matriz zero. Seja 0 a matriz ntimes n cujos elementos são todos zero. Então
0^t = 0,
logo 0in W. Assim, W não é vazio e contém o elemento neutro da soma de V.

Passo 3

Verificamos a estabilidade de W pela soma. Sejam A,Bin W. Então
A^t=A e B^t=B
Tomando a soma, temos
(A+B)^t = A^t + B^t = A + B,
ou seja, A+B também é simétrica. Portanto A+Bin W.

Passo 4

Verificamos a estabilidade de W pela multiplicação por escalar. Seja lambdainR e Ain W. Como A^t=A, temos
(lambda A)^t = lambda,A^t = lambda A
Logo lambda A é também simétrica, de modo que lambda Ain W.

Resposta

W é um subespaço vetorial de V.

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