Exercício 3. Quais dos seguintes subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial real (F(R),+, cdot)? Justifique sua resposta.
W=f in F(R) ; f(-3)=2+f(1).

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial F(R), que é o conjunto de todas as funções de R em R. O subconjunto em questão é
W = f in F(R) mid f(-3)=2+f(1)
Para decidir se W é subespaço vetorial, precisamos verificar se ele contém a função zero e se é fechado sob soma e produto escalar.

Passo 2

Testamos a função zero 0 definida por 0(x)=0 para todo x. Então
0(-3)=0
e
2 + 0(1)=2 + 0=2
Como 0(-3)neq 2+0(1), a função zero não pertence a W.

Passo 3

Um subespaço vetorial deve conter o vetor zero. Como 0notin W, concluímos que W não pode ser subespaço, sem precisar testar as demais propriedades.

Resposta

W não é subespaço vetorial de F(R).

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