Exercício 3. Quais dos seguintes subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial real
? Justifique sua resposta.
.
Passo 1
O enunciado considera o espaço vetorial real
de todas as funções
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar, e define
Para mostrar que
é subespaço vetorial, vamos verificar:
-
(existe função zero em ). -
é fechado sob soma. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificar que a função zero
pertence a
. De fato,
logo
e
não é vazio.
Passo 3
Fechamento sob soma. Sejam
. Então
Definindo
, temos
portanto
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação por escalar. Seja
e
com
. Então para
temos
logo
.