Exercício 3. Quais dos seguintes subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial real (F(R),+, cdot)? Justifique sua resposta.
W=f in F(R) ; f(0)=f(1).

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial real F(R) de todas as funções fcolonRtoR com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar, e define
W = l,finF(R) mid f(0)=f(1)r
Para mostrar que W é subespaço vetorial, vamos verificar:
  1. Wneqemptyset (existe função zero em W).
  2. W é fechado sob soma.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar que a função zero f0(x)=0 pertence a W. De fato,
f0(0)=0=f0(1),
logo f0in W e W não é vazio.

Passo 3

Fechamento sob soma. Sejam f,gin W. Então
f(0)=f(1), g(0)=g(1)
Definindo h = f + g, temos
h(0) = f(0)+g(0) = f(1)+g(1) = h(1),
portanto hin W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar. Seja alphainR e fin W com f(0)=f(1). Então para h=alpha f temos
h(0) = alpha,f(0) = alpha,f(1) = h(1),
logo alpha fin W.

Resposta

W é subespaço vetorial de F(R).

Exercícios relacionados