Exercício 1. Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto W é um subespaço vetorial do espaço vetorial (V,+, cdot).
Sejam xo in R fixo, V=F(R) (conjunto de todas as funções f: R R ), munido das operações usuais e W=f in F(R) ; f(xo)=0.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=F(R) com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar, e o subconjunto
W = ,finF(R) : f(x0)=0,
onde x0inR é fixo. Para verificar que W é subespaço vetorial de V, precisamos checar as três propriedades:
  1. Wneqvarnothing (contém o vetor zero).
  2. Fechamento sob soma.
  3. Fechamento sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que a função zero, definida por 0(x)=0 para todo xinR, pertence a W, pois
0(x0) = 0
Logo Wneqvarnothing.

Passo 3

Sejam f e g em W. Então
f(x0) = 0 e g(x0) = 0
Pela definição de soma em F(R), temos
(f+g)(x0) = f(x0) + g(x0) = 0 + 0 = 0,
logo f+gin W. Isso mostra o fechamento de W sob soma.

Passo 4

Seja alphainR e fin W. Como f(x0)=0, pela definição de multiplicação por escalar em F(R) segue
(alpha f)(x0) = alpha,f(x0) = alphacdot 0 = 0,
logo alpha fin W. Assim W é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto W satisfaz todas as condições de subespaço vetorial de V. Portanto, W é de fato um subespaço vetorial de F(R).

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