Exercício 1. Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto
é um subespaço vetorial do espaço vetorial
.
Sejam
fixo,
(conjunto de todas as funções
), munido das operações usuais e
.
Sejam
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar, e o subconjunto
onde
é fixo. Para verificar que
é subespaço vetorial de
, precisamos checar as três propriedades:
-
(contém o vetor zero). - Fechamento sob soma.
- Fechamento sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos que a função zero, definida por
para todo
, pertence a
, pois
Logo
.
Passo 3
Sejam
e
em
. Então
Pela definição de soma em
, temos
logo
. Isso mostra o fechamento de
sob soma.
Passo 4
Seja
e
. Como
, pela definição de multiplicação por escalar em
segue
logo
. Assim
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto
satisfaz todas as condições de subespaço vetorial de
. Portanto,
é de fato um subespaço vetorial de
.