Exercício 3. Quais dos seguintes subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial real
? Justifique sua resposta.
, para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é um subespaço do espaço vetorial
. O conteúdo aqui é o critério de subespaço em espaços vetoriais: precisamos checar se
contém o vetor zero (a função zero), se é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Lembrando o critério de subespaço: um subconjunto não-vazio
de um espaço vetorial
é subespaço se, e só se,
- a função zero
, - para quaisquer
vale , - para qualquer
e vale .
Passo 3
Verificação da função zero: defina
por
Mas
é falso. Logo a função zero não pertence a
. Assim o item 1 do critério falha, e
já não pode ser subespaço.
Passo 4
Podemos também ver falha no fechamento por escalar: escolha
(ou seja,
sempre) e
. Então
logo
. Falha também o item 3 do critério.