Exercício 3. Quais dos seguintes subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial real (F(R),+, cdot)? Justifique sua resposta.
W=f: R R ; f(x)>0, para todo x in R.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W = ,f:RtoRmid f(x)>0 para todo xinR
é um subespaço do espaço vetorial l(F(R),+,cdotr). O conteúdo aqui é o critério de subespaço em espaços vetoriais: precisamos checar se W contém o vetor zero (a função zero), se é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Lembrando o critério de subespaço: um subconjunto não-vazio W de um espaço vetorial V é subespaço se, e só se,
  1. a função zero 0in W,
  2. para quaisquer f,gin W vale f+gin W,
  3. para qualquer alphainR e fin W vale alpha fin W.

Passo 3

Verificação da função zero: defina 0:RtoR por
0(x)=0forall x
Mas 0(x)>0 é falso. Logo a função zero não pertence a W. Assim o item 1 do critério falha, e W já não pode ser subespaço.

Passo 4

Podemos também ver falha no fechamento por escalar: escolha fin W (ou seja, f(x)>0 sempre) e alpha=-1. Então
(alpha f)(x) = -f(x)<0,
logo -1cdot fnotin W. Falha também o item 3 do critério.

Resposta

W não é subespaço vetorial de l(F(R),+,cdotr).

Exercícios relacionados