Exercício 3. Quais dos seguintes subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial real
? Justifique sua resposta.
.
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço vetorial real
das funções de
em
e o subconjunto
Queremos checar se
é subespaço vetorial, ou seja: (i) contém a função zero, (ii) é fechado sob soma e (iii) é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se a função zero
está em
. Como
temos
, logo
.
Passo 3
Agora, peguemos
. Então
Para a soma
temos
logo
.
Passo 4
Seja
e
. Como
, então
portanto
.
Passo 5
Como
contém a função zero e é fechado sob soma e escalar, concluímos que
é de fato um subespaço vetorial de
.