Exercício 3. Quais dos seguintes subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial real (F(R),+, cdot)? Justifique sua resposta.
W=f: R R ; f(1)=2 f(5).

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial real F(R) das funções de R em R e o subconjunto
W = ,f:RtoRmid f(1)=2f(5)
Queremos checar se W é subespaço vetorial, ou seja: (i) contém a função zero, (ii) é fechado sob soma e (iii) é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se a função zero f0(x)=0 está em W. Como
f0(1)=0 e 2,f0(5)=2cdot0=0,
temos f0(1)=2f0(5), logo f0in W.

Passo 3

Agora, peguemos f,gin W. Então
f(1)=2f(5) e g(1)=2g(5)
Para a soma f+g temos
(f+g)(1)=f(1)+g(1)=2f(5)+2g(5)=2l(f(5)+g(5)r)=2,(f+g)(5),
logo f+gin W.

Passo 4

Seja alphainR e fin W. Como f(1)=2f(5), então
(alpha f)(1)=alpha,f(1)=alphacdot2f(5)=2l(alpha,f(5)r)=2,(alpha f)(5),
portanto alpha fin W.

Passo 5

Como W contém a função zero e é fechado sob soma e escalar, concluímos que W é de fato um subespaço vetorial de F(R).

Resposta

W é um subespaço vetorial de F(R).

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