Seja (V,+, cdot) o espaço vetorial real formado pelas matrizes quadradas de ordem n, munido com as operações usuais de adição de matrizes e multiplicação de número real por matrizes. Quais dos seguintes subconjuntos W do espaço vetorial real (V,+, cdot) são subespaços vetoriais de V ? Justifique sua resposta.
W=A ; A B=B A, para uma matriz B in V fixada.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial real V formado pelas matrizes ntimes n com as operações usuais, e fixa uma matriz Bin V. O subconjunto em questão é
W = Ain V mid A B = B A,
isto é, o conjunto de todas as matrizes que comutam com B. Para mostrar que W é subespaço de V, vamos verificar três propriedades:
  1. Wneqemptyset.
  2. Fechamento em relação à soma.
  3. Fechamento em relação à multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que a matriz zero 0 comuta com qualquer B, pois
0 ,B = 0 = B,0
Logo, 0in W e W não está vazio.

Passo 3

Sejam A1,A2in W. Então por definição A1B = BA1 e A2B = BA2. Assim, para a soma temos
(A1 + A2)B = A1B + A2B = BA1 + BA2 = B,(A1 + A2),
o que mostra que A1 + A2in W.

Passo 4

Seja lambdainR e Ain W. Como AB = BA, temos
(lambda A)B = lambda,(AB) = lambda,(BA) = B,(lambda A),
logo lambda Ain W.

Resposta

O conjunto W = Ain Vmid AB=BA satisfaz as condições de não vazio, fechamento para soma e fechamento para escalar, portanto é subespaço vetorial de V.

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