Seja o espaço vetorial real formado pelas matrizes quadradas de ordem , munido com as operações usuais de adição de matrizes e multiplicação de número real por matrizes. Quais dos seguintes subconjuntos W do espaço vetorial real (V,+, cdot) são subespaços vetoriais de V ? Justifique sua resposta. W=A ; A B=B A, para uma matriz B in V fixada.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial real V formado pelas matrizes ntimes n com as operações usuais, e fixa uma matriz Bin V. O subconjunto em questão é
W = Ain V mid A B = B A,
isto é, o conjunto de todas as matrizes que comutam com B. Para mostrar que W é subespaço de V, vamos verificar três propriedades:
Wneqemptyset.
Fechamento em relação à soma.
Fechamento em relação à multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos que a matriz zero 0 comuta com qualquer B, pois
0 ,B = 0 = B,0
Logo, 0in W e W não está vazio.
Passo 3
Sejam A1,A2in W. Então por definição A1B = BA1 e A2B = BA2. Assim, para a soma temos