Exercício 7. Verifique, em cada um dos itens abaixo, se V=U oplus W.
V=M3(R), munido das operações usuais, U=(ccca & b & 0 0 & 0 & c 0 & 0 & d) ; a, b, c, d in R e
W=(ccc 0 & 0 & e f & g & 0 h & i & 0 ) ; e, f, g, h, i in R

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V = M3(R) e os subespaços
U = gl a & b & 0 0 & 0 & c 0 & 0 & d :a,b,c,dinRgr,
W = gl 0 & 0 & e f & g & 0 h & i & 0 :e,f,g,h,iinRgr
Precisamos verificar duas coisas para concluir que V = U oplus W:
  1. U + W = V.
  2. U cap W = 0.

Passo 2

Para mostrar que U + W = V, tome uma matriz arbitrária
X = x11 & x12 & x13 x21 & x22 & x23 x31 & x32 & x33 in V
Defina
A = x11 & x12 & 0 0 & 0 & x23 0 & 0 & x33 in U, B = 0 & 0 & x13 x21 & x22 & 0 x31 & x32 & 0 in W
Então claramente A+B = X. Como X era genérica, segue U+W = V.

Passo 3

Para ver que U cap W = 0, seja
M in U cap W
Como Min U, nas posições (1,3),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2) temos zero; como Min W, nas posições (1,1),(1,2),(2,3),(3,3) também temos zero. Logo todas as entradas de M são zero, isto é, M=0. Portanto Ucap W=0.

Resposta

Sim. Tem-se V = U oplus W.

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