(4 pontos) Considere a seguinte reta r :
r:\left\{\begin{array}{l} x=3 z+2 \\\ y=-4 \end{array}\right.
(a) (0,2 pontos) Cite um ponto A e um vetor diretor \vec{v} da reta r .
(b) (0,2 pontos ) Dê equações paramétricas da reta \mathbf{r}.
(c) \left(0,2\right. pontos) O ponto \mathrm{P}\left(\frac{1}{2},-4, \frac{8}{3}\right) pertence à reta r ?
(d) (0,8 pontos) A reta r interesecta o plano xz ? E o plano yz ? Se sim, encontre o ponto de interseção. Se não, justifique.
(e) (0,5 pontos) Escrever equações simétricas da reta s que passa por \mathrm{B}(5,1,2) e é paràlela
(f) (1,1 pontos) Encontre a equação geral do plano \pi que contém as retas r es. à reta r.
(g) (1 ponto) Faça uma análise sobre a posição relativa das retas re a:\left\{\begin{array}{l}y=1 \\\ z=0\end{array}\right. no espaço.

Passo 1

O enunciado dá a reta r\) em \(\mathbb{R}^3\) por \[r:\begin{cases} x = 3z + 2,\\\ y = -4, \end{cases}
e pede, em sequência:
(a) um ponto A\] e um vetor diretor \(\vec v de r;
(b) equações paramétricas de r;
(c) verificar se P\bigl(\tfrac12,-4,\tfrac83\bigr) está em r;
(d) interseção de r com os planos xz (onde y=0) e yz (onde x=0);
(e) equações simétricas da reta s que passa por B(5,1,2) e é paralela a r;
(f) equação geral do plano \pi que contém ambas as retas r e s;
(g) posição relativa de r e da reta
a:\begin{cases} y = 1,\\\ z = 0. \end{cases}
Para resolver usaremos representação paramétrica de reta, condição de pertencimento, interseção reta–plano, equações simétricas, comando do plano por duas direções, e definição de retas reversas.

Passo 2

Escolhemos como parâmetro t = z. Daí
x = 3t + 2,\quad y = -4,\quad z = t.
Logo uma representação paramétrica é
(x,y,z) = (2,-4,0) + t\,(3,0,1).
Dessa forma:
– Podemos citar o ponto A = (2,-4,0) em r.
– O vetor diretor é \vec v = (3,0,1).
– As equações paramétricas ficam
x = 2 + 3t,\quad y = -4,\quad z = t.

Passo 3

Para ver se P\bigl(\tfrac12,-4,\tfrac83\bigr) está em r, igualamos
2 + 3t = \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad 3t = -\tfrac32 \quad\Longrightarrow\quad t = -\tfrac12.
Mas então z = t = -\tfrac12 \neq \tfrac83. Logo P\notin r.

Passo 4

Interseção com o plano xz ( y=0): em r, y=-4 para todo t, nunca 0. Portanto não intersecta o plano xz.
Interseção com o plano yz ( x=0): em r impomos
3z + 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad z = -\tfrac23,
e y=-4. O ponto de interseção é
(0,-4,-\tfrac23).

Passo 5

A reta s deve passar por B(5,1,2) e ter o mesmo vetor diretor (3,0,1). As equações simétricas são
\frac{x-5}{3} \;=\;\frac{y-1}{0}\;=\;\frac{z-2}{1}
o que equivale a
y = 1, \quad \frac{x-5}{3} = z - 2.

Passo 6

Como r e s são paralelas, o plano \pi que as contém é gerado pelos vetores \vec v = (3,0,1) e \overrightarrow{AB} = (5,1,2)-(2,-4,0) = (3,5,2).
Um vetor normal é
\vec n = \vec v \times \overrightarrow{AB} = (3,0,1)\times(3,5,2) = (-5,-3,15).
Multiplicando por -1 para simplificar, \vec n=(5,3,-15). Usando o ponto A(2,-4,0), a equação do plano é
5(x-2) + 3(y+4) -15(z-0) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 5x + 3y -15z +2 = 0.

Passo 7

A reta
a:\;y=1,\;z=0
tem vetor diretor (1,0,0). Como (1,0,0) não é múltiplo de (3,0,1), r e a não são paralelas. Além disso, r está sempre em y=-4 e a em y=1, então não se intersectam. Concluímos que são retas reversas (skew).

Resposta

(a) A=(2,-4,0) e \vec v=(3,0,1).
(b) x=2+3t,\;y=-4,\;z=t.
(c) Não pertence a r.
(d) Não intersecta o plano xz. Intersecciona o plano yz em (0,-4,-\tfrac23).
(e) \displaystyle y=1,\;\frac{x-5}{3}=z-2.
(f) 5x+3y-15z+2=0.
(g) São retas reversas (não paralelas nem concorrentes).

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