Exercício 2. Seja
um conjunto munido de uma operação
.
(a) Mostre que existe no máximo um elemento neutro para
com respeito a
.
(b) Se o elemento neutro para
com respeito a
existe, digamos
. Mostre que se
é associativa, dado
, existe no máximo um elemento
tal que
.
Conclua que se existem, os elementos neutro e inverso (com respeito a uma operação associativa) são únicos.
(a) Mostre que existe no máximo um elemento neutro para
(b) Se o elemento neutro para
Conclua que se existem, os elementos neutro e inverso (com respeito a uma operação associativa) são únicos.
Passo 1
Beleza, o enunciado tá pedindo duas coisas clássicas de teoria de monoides/grupos:
- Mostrar que, se existe um elemento neutro (identidade)
tal que
e para todo , então não podem existir dois desses “neutros” – no máximo um. - Assumindo agora que
é associativa (ou seja,
para quaisquer ) e que esse neutro existe, provar que, para cada , existe no máximo um inverso (definido pela propriedade
e ).
\r
O que precisamos:
- A definição de elemento neutro/identidade.
- A definição de inverso (lado esquerdo e direito).
- A propriedade de associatividade.
Passo 2
Prova da unicidade do neutro.
Suponha que existam dois neutros e
. Pela definição de neutro:
• Como é neutro,
.
• Como é neutro,
.
Logo
Suponha que existam dois neutros
• Como
• Como
Logo
ou seja, não dá pra ter dois – só um.
Passo 3
Prova da unicidade do inverso (num contexto associativo).
Chama de o neutro (já mostrado único) e assume associatividade. Dizemos que
é inverso de
se
Chama de
Agora, se
e
são ambos inversos de
, temos
Aí, usando associatividade, vem:
Logo
, ou seja, só pode existir um inverso de
.
Resposta
Em qualquer operação associativa, o elemento neutro (identidade) é único, e cada inverso (caso exista) também é único.