Exercício 2. Seja A um conjunto munido de uma operação mu: A times A A.
(a) Mostre que existe no máximo um elemento neutro para mu com respeito a A.
(b) Se o elemento neutro para mu com respeito a A existe, digamos e in A. Mostre que se mu é associativa, dado a in A, existe no máximo um elemento b in A tal que mu(a, b)=e.
Conclua que se existem, os elementos neutro e inverso (com respeito a uma operação associativa) são únicos.

Passo 1

Beleza, o enunciado tá pedindo duas coisas clássicas de teoria de monoides/grupos:
  1. Mostrar que, se existe um elemento neutro (identidade) ein A tal que
    mu(e,a)=a e mu(a,e)=a para todo ain A, então não podem existir dois desses “neutros” – no máximo um.
  2. Assumindo agora que mu é associativa (ou seja,
    mul(mu(x,y),zr)=mul(x,mu(y,z)r) para quaisquer x,y,z) e que esse neutro e existe, provar que, para cada ain A, existe no máximo um inverso b (definido pela propriedade
    mu(a,b)=e e mu(b,a)=e).
    \r
    O que precisamos:
  • A definição de elemento neutro/identidade.
  • A definição de inverso (lado esquerdo e direito).
  • A propriedade de associatividade.

Passo 2

Prova da unicidade do neutro.
Suponha que existam dois neutros e e e'. Pela definição de neutro:
• Como e é neutro, mu(e,e')=e'.
• Como e' é neutro, mu(e,e')=e.
Logo
e ;=;mu(e,e');=;e',
ou seja, não dá pra ter dois – só um.

Passo 3

Prova da unicidade do inverso (num contexto associativo).
Chama de e o neutro (já mostrado único) e assume associatividade. Dizemos que b é inverso de a se
mu(a,b)=e e mu(b,a)=e
Agora, se b e b' são ambos inversos de a, temos
mu(a,b')=e e mu(b,a)=e
Aí, usando associatividade, vem:
b =;mu(b,e) =;mul(b,,mu(a,b')r) =;mul(mu(b,a),,b'r) =;mu(e,b') =;b'
Logo b=b', ou seja, só pode existir um inverso de a.

Resposta

Em qualquer operação associativa, o elemento neutro (identidade) é único, e cada inverso (caso exista) também é único.

Exercícios relacionados