Problema 5.29. Se é convexa em um intervalo aberto, então é contínua. Toda função convexa em qualquer intervalo é contínua?
Passo 1
O enunciado lembra que se é convexa num intervalo aberto então ela é contínua nesse intervalo. Aqui o conteúdo é a relação entre convexidade e continuidade e vamos precisar usar a definição de função convexa:
e examinar se essa condição já garante continuidade quando o intervalo não é aberto.
Passo 2
Vale o teorema clássico: toda função convexa em um intervalo aberto é contínua nesse intervalo, porque convexidade implica cota-Lipschitz local e, portanto, continuidade interior. Mas e se o intervalo for fechado ou semiaberto? Precisamos ver se a proof depende de ter vizinhanças bilaterais em todo ponto do domínio.
Passo 3
Para mostrar que não basta ter qualquer intervalo, vamos construir um contraexemplo num intervalo fechado. Considere o intervalo e defina
Passo 4
Verificamos a convexidade de f em [0,1]. Seja x,yin[0,1] e lambdain[0,1].
Se x>0 e y>0, então f(x)=f(y)=0 e fl(lambda x+(1-lambda)yr)=0<=lambdacdot0+(1-lambda)cdot0
Se um dos pontos for 0, digamos x=0 e y>0, então lambda x+(1-lambda)y=(1-lambda)y>0, logo fl(lambda x+(1-lambda)yr)=0<=lambdacdot1+(1-lambda)cdot0
O caso y=0,,x>0 é análogo. Assim, f satisfaz a desigualdade de convexidade em todo par (x,y).
Passo 5
Porém, f não é contínua em x=0, pois
limxto0^+f(x)=0neq f(0)=1
Logo f é convexa em [0,1] mas perde continuidade no extremo esquerdo.
Resposta
Não. Uma função convexa em um intervalo qualquer pode falhar continuidade nos extremos; o teorema vale apenas para pontos interiores de intervalos abertos.