• Problema 5.29. Se f é convexa em um intervalo aberto, então é contínua. Toda função convexa em qualquer intervalo é contínua?

Passo 1

O enunciado lembra que se f é convexa num intervalo aberto então ela é contínua nesse intervalo. Aqui o conteúdo é a relação entre convexidade e continuidade e vamos precisar usar a definição de função convexa:
fl(lambda x+(1-lambda)yr)<= lambda f(x)+(1-lambda)f(y),
e examinar se essa condição já garante continuidade quando o intervalo não é aberto.

Passo 2

Vale o teorema clássico: toda função convexa em um intervalo aberto é contínua nesse intervalo, porque convexidade implica cota-Lipschitz local e, portanto, continuidade interior. Mas e se o intervalo for fechado ou semiaberto? Precisamos ver se a proof depende de ter vizinhanças bilaterais em todo ponto do domínio.

Passo 3

Para mostrar que não basta ter qualquer intervalo, vamos construir um contraexemplo num intervalo fechado. Considere o intervalo [0,1] e defina
f(x)= 1,&se x=0, 0,&se 0<x<=1

Passo 4

Verificamos a convexidade de f em [0,1]. Seja x,yin[0,1] e lambdain[0,1].
  • Se x>0 e y>0, então f(x)=f(y)=0 e fl(lambda x+(1-lambda)yr)=0<=lambdacdot0+(1-lambda)cdot0
  • Se um dos pontos for 0, digamos x=0 e y>0, então lambda x+(1-lambda)y=(1-lambda)y>0, logo fl(lambda x+(1-lambda)yr)=0<=lambdacdot1+(1-lambda)cdot0
O caso y=0,,x>0 é análogo. Assim, f satisfaz a desigualdade de convexidade em todo par (x,y).

Passo 5

Porém, f não é contínua em x=0, pois
limxto0^+f(x)=0neq f(0)=1
Logo f é convexa em [0,1] mas perde continuidade no extremo esquerdo.

Resposta

Não. Uma função convexa em um intervalo qualquer pode falhar continuidade nos extremos; o teorema vale apenas para pontos interiores de intervalos abertos.

Exercícios relacionados